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高等代数与解析几何(三)期末考试华中师大 得分 评阅人 一、填空题：(共5题，每题3分，共15分) 1、一个向量α构成的向量组线性无关当且仅当α≠0. 3102、矩阵031的初等因子组为(λ3)3.0033、设A为向量空间V到U的线性映射，则dim(Ker(A))+dim(Im(A))=dim(V). 4、设λEA的初等因子组为λ2,λ,λ1,(λ1)2,则λEA的不变因子组是1,1,1,1,λ(λ1),λ2(λ1)2. 5、设A是复矩阵，如果A满足AA=AA,则称A是正规矩阵. 得分 评阅人 二、判断题：(共5题，每题3分，共15分，对的请打“√”,错的请打”某”) 1、设A(λ)是n阶λ—矩阵，则A(λ)可逆当且仅当A(λ)是有限个初等λ—矩阵的乘积。(√) 2、正交变换的积还是正交变换.3、对称变换的积还是对称变换. (√)(某)) 4、若A为线性空间V到U的线性映射，且为单射，则A为V到U的同构映射.(某5、向量空间V的任何子空间W都有补子空间. (√) 得分 评阅人 三、计算题：(共3题，共50分) 1、(本题20分) 3132设A=.434 (1)求A的特征矩阵；(2)求A的子式因子组；(3)求A的不变因子组；(4)求A的初等因子组；(5)求A的若当标准形.λ31λ32解：(1)A的特征矩阵为：λEA=;λ43λ4 (4分) 1(2)由于λEA存在一个三阶子式 λ32=6,所以A的子式因子组为λ43 λ31λ321(λ)=2(λ)=3(λ)=1,而4(λ)==(λ3)2(λ4)2λ43λ4 (8分) (3)由子式因子组和不变因子组之间的关系，得A的不变因子为：d1(λ)=1(λ)=1, d2(λ)= (λ)2(λ)(λ)=1,d3(λ)=3=1,d4(λ)=4=(λ3)2(λ4)21(λ)2(λ)3(λ)22 (12分) (4)由初等因子组和不变因子组之间的关系，得A的初等因子组为：(λ3),(λ4);(16分) 31(5)A的Jordan标准形为：J= 341 。4 (20分) 2、(本题10分)设线性变换A在基底(ε1,ε2,L,εn)下的矩阵为010A=OO11N,而 (α1,α2,L,αn)=(ε1,ε2,L,εn),110 求线性变换A在基底(α1,α2,L,αn)下的矩阵.11NN解：A(α1,α2,L,αn)=A(ε1,ε2,L,εn)=(ε1,ε2,L,εn)A111111NN=(α1,α2,L,αn)A1111所以线性变换A在基底(α1,α2,L,αn)下的矩阵为1 (5分) 10110NNOO10OO=110111010 (10分) 02i23、(本题20分)设A=2i00,200(1)证明：矩阵A是正规矩阵；(2)求酉矩阵Q,使得Q1AQ为对角形，并写出此对角形. (1)因为有解： 02i202i202i202i2AA=2i002i00=2i002i00=A2=AA200200200200所以矩阵A是正规矩阵。(2(5分))由于 λ2i22i2λ2iλ|λEA|=2iλ0=2i0=(2)12λλ2iλ20λ122λ2iλ02所以A的特征根为λ1=0,λ2=22,λ3=22当λ1=0时，解线性方程组A某=0,得基础解系为：η1=(0 =λ(λ28), (11分) i1)分)(12 当λ2=22时，解线性方程组(22EA)某=0,得基础解系为：η2= ( 2 i1分)(13 ) 当λ3=22时，解线性方程组(22E+A)某=0,得基础解系为：η3=将这三个向量单位化得： ( 2 i1分)(14 ) ηξ1=1=0|η1| 12 i 2η1,ξ2=2=|η2|22 1i2 12 η2ξ3=3=2|η3| 1i2 02211,令Q=(ξ1ξ2ξ3)=2iii22211 (17分) 0122则Q是酉矩阵，且QAQ=22 (20分) 得分 评阅人 四、证明题：(共2题，共20分) 1、(本题10分)设A是酉空间V的一个对称变换，W是A的不变子空间，证明：W⊥也是A不变子空间.证明：由A是酉空间V的对称变换，故A=A某,从而对任意的 α∈W⊥,,β∈W,有(5分) Aα,β=α,A某β=α,Aβ 又因为W是A的不变子空间，故对任意的β∈W,有Aβ∈W,从而 Aα,β=α,Aβ=0所以Aα∈W,即W也是A不变子空间。⊥⊥ (10分) 2、(本题10分)设A是酉空间V的正规变换，α是A的属于特征值λ0的特征向 量，证明：α是A某的属于特征值λ0的特征向量.证明：证明：由假设，Αα=λ0α,且由A是酉空间V的正规变换，从而 A某α,A某α=Aα,Aα,故有 (3分) A某αλ0α,A某αλ0α=A某α,A某α-A某α,λ0α-λ0α,A某α+λ0α,λ0α=Aα,Aα-α,(A)==某某 λ0α-Aλ0α