双等腰三角形教师新版.docx

双等腰三角形 等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两 个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上， 那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？ 共腰双等腰 首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用。 共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的 2 倍。 E模型一、如图，AB=AC，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。 A E ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=α ， ∵AD=AE，∴设∠ADE=∠AED=β ， 其中两个等腰三角形的一条腰AE 与AC 共线， 那么剩余的底DE 与剩余的底BC 的夹角∠EDC=β -α ， B D C 那么剩余的腰AB 与剩余的腰AD 的夹角∠BAD=∠ADC-∠ABC=2β -2α ， ∴∠BAD=2∠EDC。 模型一变式、①如图，AB=AC，∠BAD=2∠EDC，求证：AD=AE。 ②如图，AD=AE，∠BAD=2∠EDC，求证：AB=AC。 模型二、如图， A AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2） A ∠BAC=2∠BDC。 ∵AB=AD， ∴设∠ABD=∠ADB=α ， E A ∵ AB=AC，∴设∠ABC=∠ ACB=β ， CB D C 其中两个等 B D 腰 三 C 角形的一条腰 AB 与 AB 共线， 那么剩余的底BD 与剩余的底BC 的夹角∠DBC=β -α ， D 那么剩余的腰AC 与剩余的腰AD 的夹角∠CAD=∠BAD-∠BAC=2β -2α ， B C ∴∠CAD=2∠CBD。 同理可证，∠BAC=2∠BDC。 模型二变式、①如图，AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：AB=AD。 ②如图，AB=AC，∠BAC=2∠BDC，求证：AB=AC。 模型二思考、等腰△ABC 与等腰△ACD 也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2 倍的关系？ 模型三、如图，AB=AC=AD，求证：（1）∠CAD=2∠CBD；（2）∠BAC=2∠BDC；（3）∠BAD=2∠BCD。 ∵AB=AD，∴设∠ABD=∠ADB=α ， ∵AB=AC，∴设∠ABC=∠ACB=β ， AC A 其中两个等腰三角形的一条腰AB 与AB 共线， 那么剩余的底BD 与剩余的底BC 的夹角∠DBC=β +α ， 那么剩余的腰AC 与剩余的腰AD 的夹角∠CAD=2β +2α ， 1 / 9 D B ∴∠CAD=2∠CBD。 同理可证∠BAC=2∠BDC；∠BAD=2∠BCD。 模型二与模型三都可以看成点A 为△BCD 的外心。 模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？ 模型四、如图，等腰△ABC 中，AB=AC，等腰△DEF 中，DE=DF，图中 AB 与 DE 共线，那么剩余的腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰的夹角和剩余底与 底的夹角， A A 通过前面的方法可证∠CPF=2∠FQC。 典型例题赏析 D D 例 1：如图，Rt△ABC 中，AB=AC，D、E 分 别是 BC、AC 边上一点， P 连接 AD、 2DE，若∠BAD=2∠CDE，CD=4，AE= 4 ， 2 E 求 AC 的长。 A F E 例 1 解析：由AB=AC 和∠BAD=2∠CDE， 可 得 2B C Q B E C 2 AD=AE= 4 ， 26解△ACD，可得AC= 2 2 。 2 6 B D C 例 2：如图，正方形 ABCD，过点 A 作∠EAF=90°，两边分别交直线 BC 于点 E，交线段 CD 于点 F，G 为 AE 中点，连接BG，过点G 作 BG 的垂线交对角线AC 于点 H，连接 HF，若 CH=3AH，请你探究HF 与 AF 之间的数量关系. A A D 例 2 解析：由 BG 是直角三角 形ABE 的 斜边中线，得BG=AG， 由 正 方 形 ABCD ， 得 ∠ H BGH=90 ° 得 ∠ BGH=2 ∠ G H BAC=45 °，题中已知 ∠ F G BAH， 由模型二的变式可得 GH=GB，为接 共腰双等腰部 2下来固定图形起到了至 关 重 要 的作用， 2 1022设 AH=k ， CH=3k ， 10 2 2 E B C BC= 2 k， B 连接 BH，得 BH= 5 k，由△GBH 10为等腰直角三角形，得GB=GH= 2 10 k，AE=2BG= k，AB