空间几何习题答案与提示.docVIP

PAGE 习题答案与提示 第1章 向量代数与坐标 习题1.1 1．（1）互为反向量；（2）相等向量；（3）相等向量；（4）互为反向量；（5）相等向量. 2. 有，于是三点共线. 3.（1）反向；（2）同向，且. 4.证明略. 5.因. 于是，亦即. 下证.令，于是，由于，从而于是. 6.已知线性无关.任意点位于平面上共面实数，使，对于定点有 ， 取，则， 且. 7.要证明 . 整理得 . 设四面体一组对边的中点的连线为，它的中点为，其余两组对边中点连线的中点分别为，下面只要证明三点重合就可以了.取不共面的三向量，先求用线性表示的关系式，可得，同理可得，从而知三点重合，命题得证. 9.设,由定比分点公式，得 比较上式两式系数，解得，于是得到. 习题1.2 1. （1），；（2），； （3），． 2.（1）；（2）. 3.. 4. 如图所示，在平行四边形中，设，则对角线. 于是，故结论成立. 证明略. 中设，则有. 另一方面，再由结论，所以有 将代入得. 证明略. 证明略. 如图所示，只要证明． 因，因此有． 如图所示，设分别为及边上的中点， 设则 故只需证. 11. （1）. （2）过点作一平面垂直于,交直线于点，利用式（1）有 . 由于，，， 则 习题1.3 . 证明略. 证明略. 4.（1）；（2）. 5. 证明略. 6. 可设，再进行计算，证明略. 7. （1）另一方面，由拉格朗日(Lagrange)恒等式，得 所以 同理可求得 （2） 因为，从而有 另一方面 所以 . 从而得 8.我们有 由此即得所要证的结论. 习题1.4 1. 2. ，，. 3. 因为，所以，的长度是的长度的3倍，它们的方向相反. 4.和的夹角为 . 5. . 6.（1） ；（2）. 7. 点为. 8. . 9. 或. 10. 可利用行列式的性质，证明略. 11. 取平面仿射坐标架，点的坐标分别为 设与相交于点,可得. 三线共点 12. 第2章 平面与空间直线 习题2.1 （1）两平面相交；（2）两平面平行. （1）；（2）. 平面参数方程（不唯一）. 平面一般方程. 所求平面方程是和. 5. . 6.（1）；（2）. 7.，，. 8.（1）；（2）. 9.证明略. 习题2.2 . 2. （1）；（2）. 3.（1）；（2）. 4.（1）；（2）；（3）. 5.（1）此直线与轴平行的充要条件是且. （2）直线与轴相交的充要条件是. （3）直线与轴重合的充要条件是. 6.. 7. 证明略. 8. ，，. 9. . 10.证明：假设这三个平面有公共点，则 ，，， 于是有，这与矛盾.因此三个平面没有公共点. 习题2.3 1. （1）等距面为. （2）等距面为. 2. . 3. （1）；（2）. 4. 所求点为或. 5. 6. . 7. 平面方程为. 8. （1）；（2）. 9.（1）直线与平面有一交点；（2）直线在平面上. 10. 所求的投影点为. 11. 点的坐标满足 平行平面与把不在且不在上的点分成三部分.上任取一点，它的坐标满足，从而满足.因此所求的点与上的点都在平面的同侧.上任取一点，它的坐标满足.从而满足.因此所求的点与上的点都在平面的同侧.综上所述，所求的点在平面与之间. 习题2.4 2. 与的距离为. 3. 所求的两条交角平分线的方程分别是 和. 4. 所求直线的标准方程为. 5. ，. 6. 所求直线的点向式方程是. 7. 或可写成 . 第3章 曲线与曲面方程 习题3.1 ，，即动点的轨迹为双曲线的一支. 重心的轨迹为一条直线. 3.（1）；（2）. 4.（1）（不唯一）； （2）令，即（不唯一）； （3）（不唯一）. 5.设开始时动点与大圆上的点重合，并取大圆中心为原点，为轴，过原点垂直于的直线为轴，经过某一过程后，小圆与大圆的接触点为，小圆的中心设为. 可得轨迹的向量式参数方程为 ， 坐标式参数方程为 ． 当时，曲线方程可化为．此时的曲线是四尖点星形线（如下图所示）．　　　　　　　 7. 如图所示，以为轴，点为原点，过点且垂直于的直线为轴建立直角坐标系．设 从而有 . 它的坐标式参数方程为 . 一般方程为 . 习题3.2 轨迹方程为两个平行平面 . 2.（1）；（2）. 所求曲线方程为 . . 设所求圆锥面为， . 两个参数方程消去参数后可得曲面的一般方程均为. 直角坐标为的点的球坐标为； 直角坐标为的点的柱坐标为. 球面方程为. 9.（1）（正常数）表示原点在中心，