高等数学概率随机变量函数的分布.ppt

第一页，共二十三页，2022年，8月28日 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 求截面面积A= 的分布 第二页，共二十三页，2022年，8月28日 又如：已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布， 求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等. 定义（课本50页定义2.10）：设f (x)是定义在随机变量 的一切可能值 x 的集合上的函数。如果对于 的每一可能取值x，有另一个随机变量 的相应取值 y = f(x) 则称 为 的函数，记作 。 第三页，共二十三页，2022年，8月28日 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 由定义可知，随机变量 的函数 也是一个随机变量，而且后者的分布由前者的分布完全确定。 那么如何从 的分布求出它的函数 的分布呢？ 第四页，共二十三页，2022年，8月28日 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 取值－1， 0，1，2 时， 取对应值－2，－1，0，1。 而且 取某值与 取其对应值是两个同时发生 的事件，两者具有相同的概率. 例1、设r.v. 的分布列如下，求 和 的分布列。 第五页，共二十三页，2022年，8月28日 故 的分布列为 同理，当 以概率 取值－1，0，1，2 时， 以相同概率取对应值4， 1，0，1。 注意： 相当于 或者 即 第六页，共二十三页，2022年，8月28日 故 的分布列为 第七页，共二十三页，2022年，8月28日 如果有一些f (xk)是相同的，把它们作适当的并 项即可，并项后的概率为它们的相应概率之和. 一般，若 是离散型 r.v ，其分布列为 则 也是离散型r.v，其分布列为 第八页，共二十三页，2022年，8月28日 例2、设r.v. 的分布列如下，求 和 的分布列。 第九页，共二十三页，2022年，8月28日 例3、一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和。这两个部件的长度 、 为两个相互独立的随机变量，其分布列如下。求此仪器长度的分布列。 解：设仪器的总长度为 ，则 第十页，共二十三页，2022年，8月28日 而 的所有可能取值为15，16，17，18。 同理可求得 ， ， 独立 第十一页，共二十三页，2022年，8月28日 故 的分布列为 第十二页，共二十三页，2022年，8月28日 例4、将两封信随机地往编号为1，2，3，4的邮筒内投， 表示第 个邮筒内信的数目。求 的分布。 解： 的所有可能取值为0，1，2。 第十三页，共二十三页，2022年，8月28日 故 的分布列为 第十四页，共二十三页，2022年，8月28日 三、连续型随机变量函数的分布 例5、设r.v. 的概率密度为 ，求 的概率密度 。 解：分布函数法 （1）求 的分布函数 关键一步 第十五页，共二十三页，2022年，8月28日 （2）两端对 y 求导 第十六页，共二十三页，2022年，8月28日 例6、设r.v. 的概率密度为 ，求 的概率密度 。 解：分布函数法 （1）求 的分布函数 注意：因 y 为 任意实数，而 ，所以 当 时， 。 第十七页，共二十三页，2022年，8月28日