不定积分课件.pptxVIP

* 不定积分 *问题: 若某一函数的导数为?(x), 求这一个函数.设这函数为F(x), 则则称F(x)是已知函数?(x)在该区间I上的一个原函数.例 设?(x) = cos x, 则F(x) = sinx, sinx–1, … , sinx+C.一.原函数的定义定义1 设?(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x), 有§5.1 不定积分的概念和性质 *定理1 若函数?(x)在区间I上连续, 则?(x)在区间I上的原函数一定存在. (证明略)问题: 1.原函数存在的条件?2.原函数的个数?3.不同的原函数之间的关系?定理2 设F(x)是函数?(x)在区间I上的一个原函数, 则对任何常数C , F(x) + C也是函数?(x)的原函数.证 因注:?(x)有无限多个原函数.它们之间相差一个常数C.即有 *定理3 设F(x)和G(x)都是函数?(x)的原函数, 则 F(x) – G(x) ≡ C (常数)证由拉格朗日定理知注: 当C为任意常数时, F(x)是?(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 ?(x) 的任意一个原函数, 即?(x) 的全体原函数所组成的集合. 就是函数族二.不定积分的定义定义2 函数?(x)的全体原函数称为?(x)的不定积分. 记为 *结论: 若F(x)是函数?(x)的一个原函数, 则 从而函数?(x)的不定积分等于它的一个原函数加上一个任意常数C, 并称C为积分常数. 从而例1 求下列不定积分其中 ∫称为积分号,?(x)称为被积函数,x称为积分变量,?(x)d x 称为被积表达式. *注1.求不定积分就是被积函数的一个原函数.注2.不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不要忘记积分常数C.注3.求不定积分的方法称为积分法.例2 已知?(x) = ktan2 x的一个原函数是2/3lncos2 x, 求常数k. *例3 F(x)是f(x)的一个原函数，满足证 由 知 (a, b为常数且a≠0) . *三.不定积分的几何意义 y = F(x )函数?(x)的一个原函数, 称 y = F(x) 的图形是?(x)的一条积分曲线;而 是?(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是: (1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y =F(x))沿y轴平行移动|c|个单位而得到. (如图)当c>0时, 向上移动; 当c<0时,向下移动.oxyxy=F(x){|c| *oxyxy=F(x)(2) 即横坐标相同点处, 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等, 都为?(x) .从而相应点的切线相互平行.注4:当需要从积分曲线族中求出过点 的一条积分曲线时,则只须把 代入y = F(x) + C中解出C即可. *例5 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数, 且过点 求此曲线方程.解 设所求曲线为 y = ?(x) , 则故所求曲线为 y = ln|x| + 2四.不定积分的性质性质1 *即 是?(x) ± g(x)的原函数. 性质3的推广 性质2 性质3 证 注5:微分运算与积分运算是互逆的. *例3 已知 , 求函数?(x).解注4.求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算,因而有一个导数公式就有一个不定积分公式.