《包装运输》第3章振动与冲击的理论基础.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 分量式 矩阵表示 广义特征问题 * 关于?2为变量的一元n次方程 求出n个根 假设 基频 * ?i——各阶频率 {u(i) }——各阶振型 性质：若?i各不相同，{u(i) }间相互线性无关，且两两正交。 已知频率和振型用线性叠加法求响应。 三自由度线性振动算例 * m——质量 k——弹簧恢复系数 xi——位移 i=1,2,3 * 运动方程为： 系统的固有振动方程（或自由振动方程）为 ： * 主振动： 代入上式 求特征问题 * 固有频率： 将?1代入（П）式，求得固有振型 取第一份量 ，解出 * 得到 依次求解 * 1 1 -1 0 1 1 1 (a) (b) (c) 振型图 计算有阻尼系统的响应的步骤 （振型叠加法） 对相应的无阻尼系统作固有振动分析，求出各阶固有频率及相应的主振型； 利用振型矩阵作坐标变换，使动力学方程解耦，阻尼矩阵采用近似处理方法； 计算主坐标下的初始条件和激励向量； 计算系统在主坐标下的响应； 将主坐标下的系统响应转换为原来物理坐标下的响应。 * * 五、非线性振动介绍 线性振动理论的研究始于牛顿（Newton I.）时代，并建立在牛顿经典力学基础上，是完全的决定论思想。拉格朗日（Lagrange J. L.）曾系统地研究过微振动理论。 由于线性微分方程理论已经发展得比较完善，所以线性振动理论也发展得相当完善。 叠加原理作为线性振动理论的基础之一，在非线性振动系统中不再适用，因而线性振动理论中一系列的方法和原理，如模态叠加法、瞬态振动中杜哈美（Duhamel）积分、模态分析和模态综合等等，在非线性振动理论中都不再适用。 一、非线性振动特点 1、非线性系统中，特别是强非线性系统和非线性高阶系统中，解的形式究竟有几种，目前尚未完全搞清楚。已知的解的形式中，往往一个非线性系统有几个平衡状态和周期解。有些周期解和平衡状态是稳定的，即可以实现的。而另一些周期解和平衡状态是不稳定的，即不可以实现的。因而研究非线性振动解的形式和研究解的稳定性是不可分离的。若控制系统运动的方程中含有参数，当参数变化时，解也随之变化。有时在某些参数附近，参数有很小的变化，解就会发生根本性变化，甚至稳定性也发生质的变化。这是线性振动中没有的。工程中某些非线性问题，往往需要确定解的稳定区与不稳定区的分界线，需要研究参数变化时，解的拓扑结构的变化。 * 2、阻尼的机理目前尚未完全研究清楚。在线性振动中，人们往往将其假设为线性阻尼，甚至有时假设为比例阻尼，这样假设有一定的工程背景，而且微分方程容易求解，解也具有一定的精度。线性阻尼的存在使线性系统振动衰减。在非线性系统中，有时会存在非线性阻尼（如负阻尼、平方阻尼、迟滞阻尼），即使没有周期性干扰力的作用，系统也可能出现周期解。 3、在单一频率周期性干扰力作用下，非线性系统受迫振动定常解会出现与干扰力同频成分，有时又会出现不同频率成分，即出现亚谐波、超谐波和超亚谐波等。当干扰力的频率从大到小或从小到大连续地变化时，系统受迫振动的振幅会出现跳跃现象，而且频率变化顺序不同时，跳跃点的位置也不同。 * * 二、非线性振动理论的主要内容 1、动力学方程的建立 非线性振动系统的力学问题，可以用一个或一组非线性微分方程、差分方程甚至代数方程来描述，因而方程的建立是最根本的问题。力学中的牛顿定律、达朗伯（d Alembert，J.R.）原理、拉格朗日方程、哈密顿（Hamilton，S.K.R.）原理等都可以用来建立动力学方程。 2、求解方法 研究非线性振动的方法很多，大体上分为实验法、分析法，后者又可分为定性分析法、定量分析法。 实验法指在实物或模型上进行实验研究，通过实验得出结论。 定性分析法（庞加莱，几何法或相平面法）指在相平面上研究解或平衡点的性质和相图性质，从而定性解的型态，一般以研究二维问题为主。 定量分析法：如普通小参数法、林特斯蒂脱小参数法、多尺度法、慢变参数法、KBM法（三级数法）、伽辽金法、谐波平衡法等。定量分析法的另一个分支是采用电子计算机进行数值分析研究非线性振动，实用价值很大，如初值法、边值法、点映射法、胞映射法等都得到广泛应用。由于非线性振动比较复杂，特别是研究强非线性问题、分岔、突变、混沌和多维系统，数值分析也许是主要的研究手段。 * 3、非线性振动问题研究的一般步骤 建立数学模型，并将自变量、因变量和参数化为无量纲的，便于分析参数的量级； 求平衡点及周期解； 研究这些平衡点及