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宽翼缘薄壁工字形梁动位移分析 由于工字墙梁具有良好的力学，因此在钢、混凝土、各种建筑材料的结构中得到了广泛应用。随着材料技术的进一步发展，其应用前景更加广泛。然而，如果在这条宽的翼侧截面上的梁对称弯曲，翼侧板上的弯曲正应力的分布是不均匀的，这就是所谓的剪力减速效果。近年来，随着国内外科学家的不懈努力，这种结构静力分析的分析方法不断完善。但是在动力反应分析中由于薄壁工字形梁受剪力滞后效应影响，经典强迫振动理论已不适用，又由于其主振型的正交性难以把握，其动力学分析难度加大。本文运用直接解法对工字形梁的动力反应进行了分析，在考虑剪力滞和剪切变形效应影响的前提下，获得结构稳态振动的势能和动能，根据能量变分原理，推导出了结构振动控制微分方程和自然边界条件。本文方法揭示了薄壁工字形结构动力反应的规律，因而在工程上具有重要的理论意义和实用价值。 1 控制方程和自然边界条件对i型梁的动态反应 1.1 上翼板、下翼板应力能及动力特性 对图1所示的工字形截面梁，在对称弯曲状态下，若结构的跨度为L，截面上的竖向动挠度为w(x,t)，则剪滞效应引起工字形梁上翼板、下翼板的翘曲位移为： 上翼板： 下翼板： 式中：fy1(y,z)、fy2(y,z)分别为剪滞效应在工字形梁上翼板、下翼板产生的翘曲形函数；wsy0为常数，且wsy0=wsy01+wsy02,wsy01和wsy02分别为上下翼板各自满足轴向自平衡条件分别求得的常数；wsy1、wsy2为沿翼板的不均匀分布函数。 工字形梁各项应力分别为： 下翼板： 考虑剪滞效应，则工字梁总的正应力分别为：上翼板： 下翼板： 腹板： 工字形梁各项应变能分别为： 式中： 下翼板： 式中： 腹板： 铁木辛柯剪切应变能： 工字形截面梁的荷载势能Vp为： 体系总势能为： 体系总动能为： 式中：x、y、z分别为通过截面形心的轴向坐标、竖向坐标和横向坐标；θ(x,t)为工字形截面动转角；u1(x,t)、u2(x,t)分别为振动时剪力滞效应引起上翼板、下翼板的纵向位移差函数；Iy为全截面对中性轴(y轴)的惯性矩，且Iy=Iy1+Iy2+Iy3;E、G分别为材料的弹性模量和剪切弹性模量；My(x,t)为梁端产生竖向转角θ(x,t)的动弯矩；M1x、M2x分别为上翼板、下翼板剪滞效应产生的动弯矩；k为截面形状系数；A为截面面积；ρ为材料的质量密度；q(x,t)为均布简谐力。 1.2 工字梁动力反应微分方程及自然边界条件 由哈密顿原理δ(T-V)dt=0，可推导出工字梁动力反应微分方程及自然边界条件为： 式(5)―式(26)中，符号“·”和“′”分别表示对时间t和对坐标x求偏导数。 1.3 u2xsint3,xsint 若工字形梁强迫振动的频率为ω0，那么可令：q(x,t)=q0(x)sin(ω0t+?),w(x,t)=W(x)sin(ω0t+?),u1(x,t)=U1(x)sin(ω0t+?),u2(x,t)=U2(x)sin(ω0t+?)和θ(x,t)=Θ(x)sin(ω0t+?)。通过式(19)、式(20)、式(21)和式(22)之间的整理代换，最后可得关于W的新微分方程为： 式中： 对式(27)进行分析可知，其特征方程解为下列形式： 故式(27)的通解为： 根据常微分方程组性质和式(28)可以假设Θ(x)解的形式，将式(28)和Θ(x)代入式(19)，根据恒等式原理求得Θ(x)的常系数，Θ(x)的解可表示为： 式中： 同样，根据式(29)和常微分方程组性质可假设U1(x)、U2(x)解的形式，将其分别代入式(20)和式(21)，可得U1(x)和U2(x)的解为： 式中，当n=1时： 当n=2时： 2 梁式压力反应的一般边界条件 1 简言之梁的几何和物理边界条件如下 (1) 简单和一致的布局力 (2) 集中力的计算 对于简支工字形梁，若跨间所受力为简谐集中力，且Pj=Pksin(ω0t+?)左右相邻边界距离为Lk1和Lk2。如图3，则k点须引入连续边界条件为： 2 mm字段的几何和物理边界条件为 若第1跨、第j跨至第m跨的跨距为L1、Lj及Lm，且每跨具有均布质量和刚度(j=1,2,…,m)，则： (1) 简单和一致的布局力 注：U下标括号内数字表示剪滞效应引起上翼板、下翼板的纵向位移差函数。 (2) 简单的和谐和中心强度 若强迫力为跨间简谐集中力，则同样须引入边界条件式(32)，若为多个简谐集中力，则按单个简谐集中力计算，最后将各个集中力结果叠加。 3 自振频率值对比 如图4所示，薄壁工字截面梁其材料参数和几何参数为： 梁高为h=1m，简谐集中力幅值为0p=9800N。 在工字形梁自振频率的求解过程中，令均布简谐力q(x,t)=0，然后应用MATLAB软件和边界条件式(31)便可计算出简支工字形梁的自振频率值如表1。同样，应