七年级三角形全等证法归纳及典例.docx

用心教好每一个学生 全等三角形的证明 课程解读 一、学习目标： 三角形全等找边相等的方法总结； 三角形全等找角相等的方法技巧； 归纳、掌握三角形中的常见辅助线； 二、重点、难点： 1、全等三角形相等边和相等角寻找思路； 2、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 3、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有 SAS、ASA、AAS、SSS 和 HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 四、知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等 第 1 页 共 15 页 用心教好每一个学生 问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题一、找边相等的方法 1、利用等角对等边 （注意：必须在同一个三角形中才能考虑） 例 1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD .13 . 1 3 2 4 B C 2、利用公共边相等 （若果要证明的两个全等三角形有两个相同的对应点，那么可么马上得出它们具有公共边） 例 1、AB=AC，DB=DC，F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF A DB C D F 练习、已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证： AE＝AF。 EF E F A C B 如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 第 2 页 共 15 页 用心教好每一个学生 12 1 2 E 5 6 3 4 A C 3、利用等量代换 B （即 AB+公共边=DE+公共边，那么 AB=DE) 例 1 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。 FEA F E C D 练习、已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证： △ABE≌△CDF． 已知AB∥DE，BC∥EF，D，C 在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． 4、利用三角形中线定理，或者等边三角形 （三角形一条中线将三角形一边平分为相等的两条想段） 例 1．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为 E、F，ME=MF。求证：MB=MC EF E F 第 3 页 共 15 页 B M C 用心教好每一个学生 练习、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF AM A M E B C 5、利用三角形角平分线定理 （三角形角平分线上的点到角两边的距离相等注意 1、必须是角平分线上的点 2、必须是点到直线的距离，垂直距离） 例 1、如图，在ΔABC 中，D 是边 BC 上一点，AD 平分∠BAC，DE 垂直 AB,DC 垂直AC,连结 DE，已知 DE=2cm，BD=3cm，求线段 BC 的长。 ED E D C B 练习、已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC， PNC点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于 M， PN⊥CD 于 N，判断 PM 与 P N C 的关系．  A M D