常微分方程的欧拉方法.ppt

常微分方程的欧拉方法第一页，共十六页，2022年，8月28日 第8章 常微分方法的数值解法教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。第二页，共十六页，2022年，8月28日 第8章 常微分方法的数值解法　　科学技术与工程问题常常需要建立微分方程形式的数学模型，下面是这类问题的例子。　　设N（t）为某物种的数量， 为该物种的的出生率与死亡率之差， 为生物的食物供给及它们所占空间的限制，描述该物种增长率的数学模型是　　设Q是电容器上的带电量，C为电容，R为电阻，E为电源的电动势，描述该电容器充电过程的数学模型是第三页，共十六页，2022年，8月28日 　　以上两个例子是常微分方程初值问题，下面是一个两点边值问题的例子。 设一跟长为L的矩形截面的梁，两端固定。E是弹性模量，S是端点作用力，I（x）是惯性矩，q是均匀荷载强度，梁的桡度y（x）满足如下方程　　针对实际问题建立的数学模型，要找出模型解的解析表达式往往是困难的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的数值解法，即计算解域内离散点上的近似值的方法。本章讨论常微分方程数值解的基本方法和理论。第四页，共十六页，2022年，8月28日 8.1 Euler 方法8.1.1 Euler 方法及其有关的方法　　考虑一阶常微分方程初值的问题：设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。 为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题（8.1.1）进行离散化。一般是引入点列{ }，这里　　　　　　　　　　　　　　　为步长，经常考虑定长的情形，即 　　　。记 为初始问题（8.1.1）的问题准确解 在 处的值，用均差近似代替（8.1.1）的导数得 第五页，共十六页，2022年，8月28日 令 为 的近似值，将上面两个近似写成等式，整理后得（8.1.2）（8.1.3）从 处的初值 开始，按（8.1.2）可逐步计算以后各点上的值。称（8.1.2）式为显式Euler。由于（8.1.3）式的右端隐含有待求函数值 ，不能逐步显式计算，称（8.1.3 ）式为隐式Euler公式或后退Euler公式。如果将（8.1.2）和（8.1.3）两式作算术平均，就得梯形公式。第六页，共十六页，2022年，8月28日 梯形公式也是隐式公式。以上公式都是由 去计算 ，故称它们为单步法。 例8.1 取h=0.1，用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法解 解 本题有 如果用Euler方法，由（8.1.2）并代入h=0.1得 同理，用隐式Euler方法有（8.1.4）第七页，共十六页，2022年，8月28日 用梯形公式有三种方法及准确解 的数值结果如表8-1所示。从表中看 到，在 处，Euler方法和隐式Euler方法的误差 分别是 和 ，而梯形方法的误差却是 。