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专题05 平行四边形中的几种模型
题型一 十字架模型
1.如图,将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E,使,若折痕为,则的长为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
2.如图,将正方形纸片折叠,使边、均落在对角线上,折痕为、,点在上,点在上,则的大小为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
3.如图,将边长为8的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的点E处,点A落在点F处,折痕为MN,若MN=4,则线段CN的长是____.
4.如图,现有一张边长为的正方形纸片,点为正方形边上的一点(不与点,点重合)将正方形纸片折叠,使点落在边上的处,点落在处,交于,折痕为,连接,.则的周长是______.
5.正方形ABCD中,点E、F在BC、CD上,且BE=CF,AE与BF交于点G.
(1)如图1,求证AE⊥BF;
(2)如图2,在GF上截取GM=GB,∠MAD的平分线交CD于点H,交BF于点N,连接CN,求证:AN+CN=BN;
6.如图1,在正方形中,为上一点,连接,过点作于点,交于点.
(1)求证:;
(2)如图2,连接、,点、、、分别是、、、的中点,试判断四边形的形状,并说明理由;
(3)如图3,点、分别在正方形的边、上,把正方形沿直线翻折,使得的对应边恰好经过点,过点作于点,若,正方形的边长为3,求线段的长.
题型二 对角互补模型
7.将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放,点,,分别是三个正方形的中心,则图中三块重叠部分的面积的和为( ).
A.2 B.3 C.6 D.8
8.Rt△ABC中,AB=AC,点D为BC中点.∠MDN=90°,∠MDN绕点D旋转,DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论
①(BE+CF)=BC,②,③AD·EF,④AD≥EF,⑤AD与EF可能互相平分,
其中正确结论的个数是【 】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图,在四边形中,于,则的长为__________
10.如图,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,若四边形ABCD的面积为4,则AC=_____.
11.已知:,求证:.
12.如图1,四边形ABCD中,BD⊥AD,E为BD上一点,AE=BC,CE⊥BD,CE=ED
(1)已知AB=10,AD=6,求CD;
(2)如图2,F为AD上一点,AF=DE,连接BF,交BF交AE于G,过G作GH⊥AB于H,∠BGH=75°.求证:BF=2GH+EG.
题型三 与正方形有关的三垂线
13.如图,在正方形中,点G为边上一点,以为边向右作正方形,连接,交于点P,连接,过点F作交于点H,连接,交于点K,下列结论中错误的是( )
A. B.是等腰直角三角形
C.点P为中点 D.
14.如图,在正方形中,点E在边上,于点G,交于点F.若,,则的面积与四边形的面积之比是( )
A. B. C. D.
15.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,),则点C的坐标为______.
16.如图,在中,,AC=8,BC=7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则CE的长为______.
17.综合与实践:如图1,在正方形中,连接对角线,点O是的中点,点E是线段上任意一点(不与点A,O重合),连接,.过点E作交直线于点F.
(1)试猜想线段与的数量关系,并说明理由;
(2)试猜想线段之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图2,当E在线段上时(不与点C,O重合),交延长线于点F,保持其余条件不变,直接写出线段之间的数量关系.
18.四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)如图,求证:矩形DEFG是正方形;
(2)若AB=4,CE=2,求CG的长度;
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时,直接写出∠EFC的度数.
题型四 正方形与45°角的基本图
19.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连结AG,CF,下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③S△AGE=18;④∠GAE=45°,其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.③④① D.①②④
20.如图,有一正方形的纸片ABCD,边长为6,点E是DC边上一点且DC=3DE,把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置,延长EF交BC边于点G,连接BF有以下四个结论:
①∠GAE=45°;
②BG+DE=GE;
③点G是BC的中点;
④连接FC,则
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