小学奥数36个经典(27-29).docx

第27讲整取问题 内容概括 有时我们只关怀某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一 些数论问题中． 我们规定[x]表示不超出x的最大整数，{x}=x-[x]，即为x的小数或真分数部分． 如[3.14]=3，{3.14}=0.14， 明显有{x}<1 ． O≤{x}+{y}<2( x、y均为整数时等号才建立)． 典型问题 2．求1981 1 1981 2 ...19812006 的和． 2006 2006 2006 2006 【剖析与解】 我们知道假如直接求解是没法解出的，此刻试着察看规律 : 最后一项为 1981不难获得，再看 198111981 1=19811 +19811 2006 2006 2006 2006 2006 1981 2005 +2006 2006 2006 所以有 1981 1 +=1981=19811+1981119812005 2006 2006 2006 2006 2006 2006 19811198112006200620062006 因为 1981 1 和为整数, 2006 2006 所以 1981 1 和也为整数,可是我们知道 0≤{x}+{y}<2；在本题中明显≠ 2006 2006 0，所以 1981 1 +=1 2006 2006 于是1981 1 +=1981-1=1980； 2006 2006 这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有 2005项，于是有1002组和2006  =990； 所认为1002×1980+990+1981=1986931． 4．解方程[x]{x}+x=2{x}+10 【剖析与解】 我们注意到x不超出10，x不可以小于5； 所以当[ x]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分 {x} 当[x]=5 时，有5{x}+5+{ x}=2{ x}+10；则4{x}=5，{ x}>1，不知足； 当[x]=6 时，有6{ x}+6+{ x}=2{ x}+10；则5{x}=4，{ x}= 4； 5 当[x]=7 时，有7{ x}+7+{ x}=2{ x}+10；则6{x}=3，{x}= 1； 2 当[x]=8 时，有8{ x}+8+{ x}=2{ x}+10；则7{x}=2，{ x}= 2； 7 当[x]=9 时，有9{ x}+9+{ x}=2{ x}+10；则8{x}=1，{ x}= 1； 8 当[x]=10时，有10{x}+10+{x}=2{x}+10；则9{x}=0，{x}=0． 所以有x=64，71，82，91，10． 5 2 7 8 6．r知足r 19 r 20 r 21 ...r 91=546．求[100r]的值? 100 100 100 100 【剖析与解】 明显等式的左侧有 91-19+1=73项，每项值为[r]或[r+1]，这是因为： 19、 100 、、91均小于l， 100100 又因为73×7<546<73×8，为使和数为 546，则[r]=7， 则设有t个[r+ x]值为7，于是，7×t+8×(73-t)=546, 100 解得t=38． 所以有38项整数部分为7． 即：r+1938 1<8，即r+56<8． 100 100 r+ 1938≥8，即r+ 57≥8 100 100 于是，100[r+56]<8×100． 100 r+56<800，100r<744；100r+57≥800，100r≥743．于是，[100r]=743 第28讲数论综合3 内容概括 拥有相当难度，需要灵巧运用各样整数知识，或与其余方面内容相综合的数论同题． 典型问题 有3个自然数，此中每一个数都不可以被此外两个数整除，而此中随意两个数的乘积却能被第三个数 整除．那么这样的3个自然数的和的最小值是多少? 【剖析与解】 设这三个自然数为 A，B，C，且A=a× b，B=b×c,C=c×a，当a、b、c均是 质数时明显知足题意，为了使 ，， C 的和最小，则质数a 、 b 、c应尽可能的取较小值，明显当 a、 AB b、c为2、3、5时最小，有A=2×3=6,B= 3×5=15，C=5×2=10． 于是，知足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=31． 4.关于两个不一样的整数，假如它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，比如 70与30．那么在 1， 2，，16这16个整数中，有“好数”多少对 ? 【剖析与解】 设这两个数为a、b，且a<b，有ab