六点对称法ADI法预校法和LOD法解二维抛物线方程.docx

偏 微 分 数 值 解 法 实 验 报 告 实验名称：六点对称格式，ADI 法，预校法，LOD 法解二维抛物线方 程的初值问题 实验成员： 吴兴 杨敏 姚荣华 于潇龙 余凡 郑永亮实验日期：2013 年 5 月 17 日 指导老师：张建松 一、 实验内容 用六点对称格式，ADI 法，预校法和 LOD 法求解二维抛物线方程的初值问题： ??u ? ?t ? 1 (u 42 xx ? u ),( x, y) ? G ? (0,1)? (0,1),t ? 0, yy ??u(0, y, t) ? u(1,y, t) ? 0,0 ? y ? 1,t ? 0, ? ?u (x,0, t) ? u (x,1,t) ? 0,0 ? x ? 1,t ? 0 ? y y ? ? ? ??u(x, y,0) sin x cos y. 已知（精确解为： u(x, y, t) ? sin? x cos? y exp(? ? 2 t) ） 8 设 x ? jh( j ? 0,1, , J ), y j k ? kh(k ? 0,1, , K ), t n ? n? (n ? 0,1, , N ) 差分解为 un ， j,k ??un ? un ? 0, k ? 0,1, , K 则边值条件为： ? 0,k J ,k ??un ? un ,un ? un , j ? 0,1, , J j ,0 j,1 j ,K ?1 j ,K 初值条件为： u0 j,k ? sin? x j cos? y k 取空间步长h ? h ? h 1 2 ? 1 40 ，时间步长? ? 1 1600 网比。 1: ADI 法： 由第 n 层到第 n+1 层计算分成两步：先先第n 层到 n+1/2 层，对uxx 用向后差分逼近，对 uyy 用向前差分逼近，对 uyy 用向后差分逼近，于是得到了如下格式： n ?1 n ? j , k? j , k? j , k 2 n ? 1 u2= （ j ?1, k u 2 2 u n ? 1 2 j , k n ? 1 u2 u j ?1, k u n + j , k ?1 2 u n j , k u n j , k ?1 ） （ 1 ） h 2 h 2 1 n ? 1 ? (? 2 u 2 ? ? 2 u n ) h 2 x j , k y j , k u n ?1 -u n n ? 1 j ,?k j , k2 j ,?k j , k 2 u 2 2 u n ? 1 2 j , k u n ? 1 2j ?1, k + 2 u n ?1 j , k ?1 ? 2 u n ?1 j ,k u n ?1 j ,k ?1 ） （ 2) h 2 h 2 1 n ? 1 ? (? 2 u 2 ? ? 2 u n ?1 ) h 2 x j , k y j ,k 2其中 j,k=1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,上标 n+1/2 表示在 t=tn+1/2+(n+1/2)? 取值。假定第 2 n 层的un 已求得，则由（1）求出 un? 1 ，再由（2）求出 un?1 。 j ,k 2:预 校法差分格式： j ,k j ,k 先通过 U 的 n 层求解 U 的 n+1/4 层，在通过U 的 n+1/4 层求 U 的 n 2的 n+1/2 层，最后通过 U 的 n+1/2 层求解 U 的 n+1 层，下为计算un+1 的预算 2 格式： ? （ I-  ? 2） u n+ 4 =u n jk (3) 12h 2 1 ? x jk jk 1 1 （ I- ? 2） u n+ 2 =u n+ 4 (4) 2h 2 y jk jk n+ 1 其次利用 u n ， u jk jk 2 构造更精确的校正格式即下（ 5) 式 u n+1 jk -u n 1 jk = （ 2 + ?  2） u n+ 1 (5) 2 2 ?? h 2 x y jk ? 3:LOD 算法： 由第 n 层到第 n+1 层计算分为两步： （1） 1 2第一步： 从n->n+ ，求u 2 2 n? 1 对u j ,k 向后差分,u xx 向前差分，构造出差分格 yy 式为： n?1 n? j ,k?j j ,k? j ,k 2 n? 1 u2 u =（ j ?1,k 2u n? 1 2 j ,k n? 1 u2 u j ?1,k + un j ?1,k 2un j ,k un j ?1,k ） (3.6.1) 1 h2 h2 1 n? 1 ? ? 2 (u 2 ? un ) （2） h2 x j ,k 1 n? 1 j ,k 第二步： 从n+ ->