【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）边边角证全等（解析版）.docxVIP

边边角证全等 1．已知如图：∠ABP＝∠CBP，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠BAP+∠BCP＝180°，求证：AB+BC＝2BD． 【解答】解：过点P作PM⊥AB，垂足为点M， ∵PM⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP， ∴PM＝PD，BM＝BD， ∵∠BAP+∠BCP＝180°，且∠BAP+∠MAP＝180°， ∴∠PAM＝∠BCP， 在△PAM和△PCD中， ， ∴△PAM≌△PCD， ∴AM＝CD， ∴BM﹣AB＝BC﹣BD， ∴BD﹣AB＝BC﹣BD， ∴AB+BC＝2BD． 2．如图，四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC， （1）求证：DC＝AD； （2）若BC＝21，AB＝9，AD＝10，求BD的长． 【解答】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， 在△BAD和△BED中， ∵， ∴△BAD≌△BED（SAS）， ∴DA＝DE，∠A＝∠BED， ∵∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°， ∴∠C＝∠DEC， ∴DE＝DC， ∴DC＝AD． （2）如图，过点D作DF⊥BC于点F， ∵△BAD≌△BED， ∴BA＝BE＝9、AD＝DC＝10， ∵BC＝21， ∴EC＝12， ∵DE＝DC， ∴EF＝FC＝EC＝6， 在Rt△DFC中，DF＝＝＝8， 在Rt△BDF中，BD＝＝＝17． 3．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，试说明AD＝CD的理由． 【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F， 所以，∠EDF+∠BAD＝180°， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∵∠BAD与∠BCD互补， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD＝CD． 4．如图所示，四边形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°． 【解答】证明：如图，过D作出DE⊥BA，DF⊥BC， ． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△DEA和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL）， ∴∠C＝∠EAD， ∵∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠BAD+∠C＝180°． 5．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【解答】解：如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，AB＝AD，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE，AC． （1）求证：△ACE是等腰直角三角形； （2）若AC＝6cm，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°， ∴∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°， ∵∠ADE+∠ADC＝180°， ∴∠ADE＝∠B， 在△ADE和△ABC中， ， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴∠DAE＝∠BAC，AE＝AC， ∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴△ACE是等腰直角三角形． （2）解：∵△ADE≌△ABC， ∴S△ADE＝S△ABC， ∵△ACE是等腰直角三角形．AC＝6cm， ∴AC＝AE＝6cm， ∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ABC＝S△ACD+S△ADE＝S△ACE＝×6×6＝18（cm2）． 7．已知：如图，点E、F在BC上，AF与DE交于点G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求证：AG＝DG． 【解答】证明：∵GE＝GF， ∴△GEF为等腰三角形， ∴∠GEF＝∠GFE， ∵在△ABF和△DCE中，∠B＝∠C， ∴∠A＝∠D， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（ASA）， ∴AF＝DE， 又∵GF＝GE， ∴AF﹣GF＝DE﹣GE， 即AG＝DG． 8．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB． （1）求证：BE＝FD． （2）若AF＝4，AB＝6，求DF． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE，∠ADC＝∠AEC＝90°， 在Rt△