【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）半角模型证全等（解析版）.docxVIP

半角模型证全等 1．【问题背景】 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　． 【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． 【解答】（1）解：如图1， 在△ABE和△ADG中， ∵， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ∵， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF． （2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立； 理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ∵， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ∵， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG， 在△AEB与△CGB中， ∵， ∴△AEB≌△CGB（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG． ∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝45°， ∴∠CBF+∠CBG＝45°． 在△EBF与△GBF中， ∵， ∴△EBF≌△GBF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10． 2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF． （2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF． （3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A＝∠C 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF， ∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF＝30°， ∴AE＝，CF＝， ∵∠MBN＝60°，BE＝BF， ∴△BEF为等边三角形， ∴BE＝BF＝EF， ∴AE＝CF＝， ∴AE+CF＝EF； （2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG， ∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴点A与点C重合， ∵∠A＝∠BCF＝90°， ∴∠BCG+∠BCF＝180°， ∴点G、C、F三点共线， ∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG， ∴∠GBF＝60°， 在△GBF与△EBF中， ， ∴△GBF≌△EBF（SAS）， ∴FG＝EF， ∴EF＝AE+CF； （3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下： 如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG， ∴AE＝CG， 由（2）同理得，点C、F、G三点共线， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG， ∴BG＝BE， ∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°， ∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠GBF＝60°， 在△BFG与△BFE中， ， ∴△BFG≌△BFE（SAS）， ∴GF＝EF， ∴EF＝AE﹣CF． 3．（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在