高考数学模拟真题一.pdfVIP

（2023春•西湖区校级期中）已知函数f （x ）=ae-x+x-2 ． （1 ）当a=2时，求f （x ）在[-1 ，3]上的值域； （2 ）若f （x ）有两个零点x ，x ，且x x ＜0 ，证明：0 ＜a ＜2且x +x ＞2lna. 1 2 1 2 1 2 题型：压轴题；转化思想；分析法；导数的综合应用；逻辑推理． 答案： （1 ）[ln2-1 ，2e-3] ； （2 ）证明过程见解析． 思路： （1 ）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数在[-1 ，3]上的值域； （2 ）f （x ）有两个零点，则结合单调性可知，只需极小值小于0 ，由此求出a的范围，再利用两个零 点间的关系，把x +x ＞2lna转化为两个函数值的大小关系，最后借助于函数f （x ）的单调性完成证 1 2 明． x 解析：解：（1 ）当a=2时，f （x ）=2e-x+x-2 ，令f ′(x )= −2=0 ，得x=ln2 ， x 当x ∈[-1 ，ln2 ）时，f' （x ）＜0 ，当x ∈（ln2 ，3]时，f' （x ）＞0 ． 2 故f （x ） =f （ln2 ）=ln2-1 ，由于f (3)=1+ ，f (−1)=2 −3>f (3) ， min 3 故f （x ）在[-1 ，3]上的值域为[ln2-1 ，2e-3] ； x （2 ）证明：令f ′(x )= −a ，显然a≤0时，f′ （x ）＞0恒成立，f （x ）为增函数，不符合题意， x 当a ＞0时，令f′ （x ）=0 ，得x=lna, 当x ∈（-∞ ，lna ）时，f′ （x ）＜0 ，f （x ）此时递减，当x ∈（lna,+∞ ）时，f′ （x ）＞0 ，f （x ）此时递 增， V a >0 故f （x ）有两个零点x1 ，x2 ，只需W ，解得0 ＜a ＜e, Xf (lna)=lna−1<0 又x x ＜0 ，不妨令x ＜0 ＜x ，则f （0 ）=a-2 ＜0 ，所以0 ＜a ＜2 ， 1 2 1 2 要证x +x ＞2lna,只需证x ＞2lna-x ， 1 2 1 2 易知，x1∈（-∞ ，lna ），x2 ∈（lna,+∞ ），则2lna-x2 ＜lna, 因为当a ＞0时，f （x ）在（-∞ ，lna ）上单调递减，所以要证x1 ＞2lna-x2 ，只需证f （x1 ）＜f （2lna- x2 ）， 因为f （x1 ）=f （x2 ），所以f （x1 ）＜f （2lna-x2 ）等价于f （x2 ）-f （2lna-x2 ）＜0 ， 令函数g （x ）=f （x ）-f （2lna-x ）=2x-2lna+ae-x-aex-2lna ，x ＞lna, 则g' （x ）=2-ae-x-aex-2lna=2-a （e-x+ex-2lna ）， −x x −