线性代数-专升本--练习题(含答案).docx

线性代数试卷A答案(专升本) 一、判断题 1.设X是方阵A的一个非零特征值对应的特征向量，则X是A 的列向量的线性组合。( √ ) 2.设ai,bi,ci,分别为n阶方阵A,B,(A+B)的特征值，则有等式i=1nai=i=1n 3.若方阵A 的特征值全为零，则A为零矩阵。(×) 4.若A是一个实对称阵，方程组AX=0有非零解，则A不是正定矩阵。( √ ) 5.若n阶方阵的行、列向量组不等价，则|A|=0。(√) 6.若齐次线性方程组中方程的个数大于未知量的个数，则该方程只有零解。(×) 7.相似的矩阵有相同的特征值，从而有相同的特征向量。(×) 8.设A为正交阵，若λ是A的特征值，则λ-1也是A的特征值。( √ ) 9.设A,B是n阶方阵，若AB+B=I，则BA+B=I 。(√) 10.若向量X1,X2,X3线性无关，则X1+X2+X3≠0 。( √) 11.设r(A)=r，则A 至少有一个r-1阶子式不为零。(√ ) 12.若α1, α2,…,αm线性无关，则α1+2α2+3α3+…+mαm≠0 。( √) 13.可逆的上三角阵的逆矩阵仍是上三角阵.(√ ) 14.若α=(α1, α2，…，αn)T≠0，则ααT的秩必为1。(√) 15.设A,B,C为n阶方阵，若ABC=I，则C=B-1A-1。( √) 16.设A 为m×n矩阵，r(A)=m，则非齐次线性方程组AX=b一定有解。( √) 17.若A,B为n阶正定阵，则A-1+B-1也为正定阵。( √) 18.若A的特征值为1或0，则A= A 。(×) 19.若n阶方阵A中每列元素之和为0，则|A|=0。(√ ) 20.若A可逆，则(A*)-1=(A-1)*，其中A*是A 的伴随矩阵。(√) 二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 1. 21413-1 2. 设A=121252123，则 3. 设A=12-110a0-45 4. 设A为n阶方阵，A2+3A-I=0，则(A-I)-1= -(A+4I)/3。 5.若二次型fx1,x2,x 6. 4-35 7. 设n阶方阵A的各行元素之和为零，且r(A)=n-1,则齐次线性方程组AX=0的通解为k(1,1…,1)T 。 8.设矩阵A,B为3阶方阵，且 AB+I=A2+B，若A= 101020-101，则B= 9.设3阶方阵A 的伴随阵为A*，且|A|=1/2，则 |(3A)-1-2A*|= -16/27 。 10.设矩阵A= 1-1124-2-3-3a， B=20 三、1、解矩阵方程1 解：设A=1202 A11= -4，A21=4，A31= -2；A12=5，A22= -2，A32=1；A13=7，A23= -4，A33= -1， A-1=12 X=A-1B== 2、设A= 12-3-201 2 -300 解：由2I-B-1ACT=B-1 2B-A=123401 四、（1）设α1, α2，…，αm是齐次线性方程组Ax =0的基础解系，β是非齐次线性方程组Ax = b(b≠0)的一个特解，证明向量组α1, α2，…，αm,β线性无关。 证：令k1α1+k2α2+…+kmαm+km+1β=0, 两边乘A即得km+1Aβ=0， km+1b=0，→km+1=0，又由α1, α2，…,αm线性无关， k1= k2=…=km=0, 即得α1, α2，…, αm, β线性无关。 （2）设?1=(1,4,0,2)T, ?2 =(2,7,1,3)T, ?3=(0,1,-1,a)T，β=(3,10,b,4)T , 1.a, b为何值时，β不能由?1,α2,α3线性表示; 2.a,b为何值时，β可由?1,α2,α3惟一线性表示; 3.a, b为何值时，β可由?1,α2,α3线性表示,但表示方法不惟一，并求表示式。 五、（1）求线性方程组x1 （2）已知线性方程组& a,b为何值时，有无穷多解，并求之。 解： B=11111 当a= -1,b=0时,方程组有无穷多组解。 此时B~111 同解方程组为&x1 方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1,k2为任意常数) 六、（1）已知矩阵A的一个特征值为1，求数 （2）用配方法化二次型fx1 解：f = = = 令y1=x1-2x f