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初一数学特训班讲义 初一数学基础知识 初一数学基础知识讲义 第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图: 数 二、 绝对值的意义: (1)几何意义:一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义:?正数的绝对值是它的本身;?负数的绝对值是它的相反数; ?零的绝对值是零。 当a为正数也可以写成: 当a为 当a为负数 说明:(?)|a|?0即|a|是一个非负数; (?)|a|概念中蕴含分类讨论思想。 典型例题 今天是星期日，若明天算是第一天，那么1 +2 +3 +......+1998 是星期几, 初一数学基础知识 立方和的公式 1 +2 +...+n =[n(n+1)/2] 这个数算出来是七的倍数啊 所以还是星期一吧 最笨的计算方法:用数学公式:1 +2 +2 +……+n =[n(n+1)/2] 得出数据再除以7看余数是几就是星期几。 第二种方法:1 =0*7+1 2 =1*7+1 3 =4*7-1 4 =9*7+1 5 =18*7-1 6 =31*7-1 7 =49*7 ...... 余数相加等于0，既无变化:以此为周期，用2002/7=286无余数，可知由星期几开始，那么结果还是星期几。 4 4 4 4 ——— + ———— + ——- +……+ -------- 1X3X5 3X5X7 5X7X9 97X99X101 原式=1/(1*3)-1/(3*5)+1/(3*5)-1/(5*7)+……+ 1/(97*99)-1/(99*101) =1/3-1/(99*101) =3332/9999 三、 例1((数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图: 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( A ) A(-3a B( 2c,a C(2a,2b D( b 初一数学基础知识 解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析:解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号 C ) A(是正数 B(是负数 C(是零 D(不能确定符号 解:由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示: 所以 分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3((分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢, 分析:从题目中寻找关键的解题信息，―数轴上表示这两数的点位于原点的两侧‖意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解:设甲数为x，乙数为y 由题意得:， (1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧: 若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 (2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧: 若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4((整体的思想)方程的解的个数是( D ) A(1个 B(2个 C(3个 D(无穷多个 分析:这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。 ((非负性)已知|ab,2|与|a,1|互为相互数，试求下式的值( 例5 初一数学基础知识 分析:利用绝对值的非负性，我们可以得到:|ab,2|=|a,1|=0，解得:a=1,b=2 于是 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果(同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 2008 值，你有办法求解吗,有兴趣的同学可以在课下继续探究。 例6((距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题: (1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗,答:____相 等 .