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基于双稀疏表示的图像复原新算法 1 基于稀疏表示的图像恢复 在生成和传输过程中，不同的因素会导致图像质量恶化。例如，相机和物体之间的相对运动、空气动力学和散焦会导致图像模糊，噪声也会严重影响图像的质量。图像复原技术就是研究如何从已知的模糊图像中尽可能逼真地恢复出原始图像，从数学角度解释就是针对图像的退化过程建立模型，然后基于一定准则，采用相反的过程对图像进行补偿，以达到还原真实图像的目的。 近年来基于稀疏表示的图像复原算法受到广泛关注 小波变换因其具有良好的局部时域-频域特性和多分辨率特性，被广泛地应用在图像复原领域。传统的小波复原方法都是在基于变换域的阈值去噪的基础上的改进和变形。Fujiwara等采用平移不变小波变换移除噪声及复原减少的高频成分来复原散焦模糊图像 为充分利用自然图像本身固有的先验知识，本文在图像复原中融入平移不变小波变换的整体稀疏性先验知识和解析模型的局部稀疏性先验知识，提出一种新的图像复原算法。 2 基于共稀疏度的学习 与基于综合模型的稀疏表示非常类似的一个模型，基于解析模型的稀疏表示近年来日益引起学者们的关注。解析模型也称为共稀疏解析模型(Cosparse Analysis Model)，在解析模型中，假设信号x∈R 则变换系数向量z中有许多零元素。解析算子Ω也称为解析字典，Ω中的每一行代表了一个字典原子。对比于综合模型中信号是由x中非零分量决定的，在解析模型中，解析向量Ωx中零分量表征了信号。为避免混淆，Nam等人引入共稀疏度(cosparsity)l的概念，l表示解析向量Ωx中零元素的个数 在基于解析模型的稀疏表示中，给定训练集X=[x 其中G是用来度量矩阵ΩX稀疏度的函数: 其中p-范数可以是l 解析字典的学习问题是基于解析模型的稀疏表示的一个核心问题，Hawe和Kleinsteuber等提出基于几何共轭梯度学习解析字典的算法(GOAL) 式中ν 显然，如若不对Ω附加先验性假设条件，则会得到式(2)的一个全局最小值Ω=0。为了避免平凡解，通过对Ω附加三个约束条件来规范优化问题(2): (2)解析字典Ω是列满秩的，即rk(Ω)=n; (3)解析字典Ω中没有平凡线性相关行，即 由于满足列归一化的满秩矩阵的流形结构是斜流形 解析字典Ω的约束条件(2)确保对任意不同的训练样本即 解析字典Ω的约束条件(3)避免了变换系数Ωx 综合以上约束条件，解析字典Ω的优化问题可以描述为: 其中β，μ∈R 式(8)将解析字典的学习问题转化为矩阵流形的优化问题，从而采用矩阵流形优化方法求解 基于几何共轭梯度的解析字典学习算法是到目前为止一个较为优秀的解析字典学习方法，已应用到图像去噪、图像修复、单幅图像超分辨率等领域，本文将采用该学习算法训练出来的字典作为解析字典应用到图像复原算法。 3 般优化问题的求解 图像退化模型可表示为: 其中，y∈R 式中第一项是惩罚项以表征复原图像和原始图像的逼近程度，第二项是正则项，反映了图像x的先验信息，用来抑制图像复原问题的病态性。参数%为正则化参数，用来调整正则化程度。 为充分利用图像的先验知识，在稀疏表示框架下，同时引入Cosparse解析字典Ω及平移不变小波变换W两种稀疏模型，前者对每个图像块进行稀疏表示，后者对整幅图像进行稀疏表示，则图像复原对应的正则化问题可以表示为: 式(11)中R 利用ALM(增广拉格朗日乘子法) 式(13)中u,v,r为拉格朗日乘子。 本文用交替方向乘子法(也称为ADMM)求解式(13)描述的优化问题 (1)当图像x，稀疏系数z，图像块向量w，乘子u,v,r固定时，更新小波系数α的优化问题为: 式(14)为典型的l 取p=1时，即l 其中Shrink( 为式(17)的解。 取p=0时，即l 其中Θ 为式(20)的解。 (2)当图像x，小波系数α，图像块向量w，乘子u,v,r固定时，更新稀疏系数z的优化问题为: 类似求解式(14)，取p=1时，解得: 取p=0时，解得: (3)当图像x，稀疏系数z，小波系数α，乘子u,v,r固定时，更新图像块向量w: 式(24)为二次优化问题，对w (4)当固定稀疏系数z，小波系数α，图像块向量w，乘子u,v,r，更新图像x: 式(26)为二次优化问题，对x求偏导数，并令偏导数为0，可解得: 式中R B=(tβ+μ 式中F( (5)按照ADMM算法规则更新乘子u,v,r: 综上，本文提出的图像复原算法(以p=1为例)包括以下几个步骤: end for (4)输出复原图像x 4 算法的复杂性分析 为验证算法的有效性，将本文算法与文献 4.1 算法复杂度分析 由文献 式中w———小波分解系数维数; T———算法迭代次数; P———两个矩阵相乘的复杂度。 L0-AbS算法的复杂度主要取决于小波分解、图像更新的复杂度。 4.2[9]