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数学建模讲解 第一页，共十八页，2022年，8月28日 A题 零件的参数设计  一件产品由若干零件组装而成。标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数，零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的三倍。 第二页，共十八页，2022年，8月28日 进行零件设计，就是要确定其标定值和容差，这时要考虑两方面因素： 1、当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。 2、零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。 第三页，共十八页，2022年，8月28日 试通过如下的具体问题给出一般的零件设计方法 粒子分离器某参数（y）由7个零件的参数（记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）决定，经验公式为 第四页，共十八页，2022年，8月28日 y的目标值（记作y0）为1.50 1、当y偏离y0±0.1时，产品为次品，质量损失为1，000元。 2、当y偏离y0±0.3时，产品为废品，损失为9，000元。 第五页，共十八页，2022年，8月28日 零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C 三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为±1%,B等为±5%,C等为±10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号“/”表示无此等级零件）。 标定容许范围 C等 B等 A等 X1 [0.075,0.125] / 25 / X2 [0.225,0.375] 20 50 / X3 [0.075,0.125] 20 50 200 X4 [0.075,0.125] 50 100 500 X5 [1.125,1.875] 50 / / X6 [12,20] 10 25 100 X7 [0.5625,0.935] / 25 100 第六页，共十八页，2022年，8月28日 现成批生产，每批生产1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1、x2=0.3、x3=0.1、x4=0.1、x5=1.5、x6=16、x7=0.75;容差均选最便宜的等级。 请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少。 第七页，共十八页，2022年，8月28日 问题分析 本题是一个最优化问题，目的是要通过模型求出单个零件的最小费用，而找到最优解，也就是问题中所提到的标定值和容差，因此，该模型，我决定建立标定值，容差和单个零件费用之间的函数关系，通过matlab数学软件求解有约束的非线性规划问题，因而可以得到所要的最优解。 第八页，共十八页，2022年，8月28日 模型建立 1、先来讨论质量损失的计算。由题目中所给的“如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大。”这说明质量损失的计算应具有两个特点:只要y不等于y0那麽就有质量损失;损失值与|y-y0|成正比。因此,给出如下函数 其中，k是常数 第九页，共十八页，2022年，8月28日 将题目中所给的两组损失数值代入上式,求得 k=100000 因此 上式符合上述的两个特点，称为表征质量损失的函数。 第十页，共十八页，2022年，8月28日 2、本题要求的是使总费用最少的设计方案。总费用由两部分组成：零件成本和y偏离y0造成的质量损失。 零件成本只取决于零件的相对容差，设第i种零件的成本为，则七种零件总成本为 第十一页，共十八页，2022年，8月28日 y是由零件参数X0=(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)决定的，即经验公式y=f（X0），由假设xi可视为相互独立的随机变量，那麽y也是随机变量。大量生产时，平均每件产品的质量损失费用应该用表征质量损失的函数F(y)的期望来度量。而该期望又由各种零件参数的标定值X0和相对容差决定。设总费用函数为P,那麽 第十二页，共十八页，2022年，8月28日 3、下面讨论(2)的具体表达式。 由 其中 是y的期望值, 是的y方差。 现在来推导 与 将y=f(X0)在X0=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)处进行Taylar展开,并略去二阶以上各项。则 第十三页，共十八页，2022年，8月28日