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一、偏导数定义及计算
定义 设函数z = f (x , y )在点(x , y ) 的某一邻
0 0
域内有定义，当 y 固定在y 而 x 在 x 处有增
0 0
f (x +Dx , y ) -f (x , y )
量 时，如果 0 0 0 0 存
Dx lim
Dxfi 0 Dx
在，则称此极限为函数z = f (x , y )在点(x , y )
0 0
处对x 的偏导数，记为
¶z ¶f
， ，z x =x0 或f (x , y ).
x x 0 0
¶x x =x0 ¶x x =x0 y =y 0
y =y 0 y =y 0
全微分 (Differentiability)
如果函数z = f (x , y )在点(x0 , y 0 ) 的全增量
Dz = f (x0 + Dx, y 0 +Dy ) -f (x0 , y 0 )
可以表示为 Dz = ADx +BDy +o( r) ，
其中 A , B 不依赖于Dx , Dy 而仅与x , y 有关，
0 0
r = (Dx )2 +(Dy )2 ，
则称函数z = f (x , y )在点(x0 , y 0 )可微分，
ADx +BDy 称为函数z = f ( x , y ) 在点(x0 , y 0 ) 的
全微分，记为dz ，即 dz |( x ,y )= ADx +BDy .
0 0
定理２ （充分条件） 如果函数z = f (x , y ) 的偏
¶z ¶z
导数 、 在点(x 0 , y 0 ) 的某邻域内存在，且均
¶x ¶y
在点(x0 , y 0 )连续，则该函数在点(x0 , y 0 )可微．
函数连续 函数偏导存在
函数可微
偏导数连续
一、链式法则 ( Chain Rule )
定理 如果函数u =f(t )及v =y (t )都在点 t 可
导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v)可微，
则复合函数z = f [f(t ),y (t )]在对应点 t 可导，
其导数如下
dz ¶z du ¶z
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