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第五节 极限存在准则
两个重要极限
• 极限存在准则
• 两个重要极限
• 小结 思考题
一、极限存在准则
1. 准则
准则 Ⅰ 如果数列x , y 及 z 满足下列条件:
n n n
(1) y n £ xn £zn (n =1,2,3)
(2) lim y n =a, lim zn =a,
nfi¥ nfi¥
那末数列xn 的极限存在, 且lim xn = a.
nfi ¥
证 y n fi a, zn fi a,
" e>0, $N1 >0, N 2 >0, 使得
当n >N 时恒有 y -a < e,
1 n
当n >N 时恒有 z -a < e,
2 n
取N = max{N 1 , N 2 }, 上两式同时成立,
即a -e< y n < a +e, a -e< zn < a +e,
当n >N 时, 恒有 a -e< y n £ xn £ zn < a +e,
即xn -a < e成立, \ lim xn =a.
nfi ¥
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
0
x ˛U(x ,d)
准则 Ⅰ′如果当 0 (或x >M )时,有
(1) g (x ) £ f (x ) £ h(x),
(2) lim g (x ) = A, lim h(x ) = A,
xfi x0 xfi x0
( xfi¥ ) ( xfi¥ )
那末lim f (x )存在, 且等于 A .
x fix 0
( x fi¥ )
准则 1和准则1'称为 准则.
注意: 利用 准则求极限关键是构造出y 与z ,
n n
并且y 与z 的极限是容易求的.
n n
1 1 1
例1 求lim( + ++ ).
nfi ¥ n2 +1 n2 +2 n2 +n
n 1 1 n
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