数学一偏导数定义及其计算法.pdf

一、偏导数的定义及其计算法 1. 【偏导数的定义】 (1) 【二元函数在一点处的偏导数】 【定义】设z = f (x , y )在点(x , y ) 的某一邻域内有定义，当 0 0 y 固定在 y 0 而x 在x0 处有增量Dx 时，相应地函数有增量 f (x +Dx,y ) -f (x ,y ) 0 0 0 0 f (x +Dx,y ) -f (x ,y ) ，若lim 存在，则称 0 0 0 0 Dxfi0 Dx 之为z = f (x , y )在点(x , y )处对x 的偏导数，记为 0 0 ¶z ¶f z x =x0 ，f (x , y ) ， 或 . x x 0 0 y =y 0 ¶x x =x0 ¶x x =x0 y =y 0 y =y 0 y 同理可定义z = f (x , y )在点(x , y )处对 的偏导数为 0 0 f (x ,y +Dy ) -f (x ,y ) 0 0 0 0 lim ， Dyfi0 Dy 记为 ¶z ，¶f ，zy x =x 0 或 f y (x 0 , y 0 ). ¶y x =x 0 ¶y x =x 0 y =y 0 y =y 0 y =y 0 (2) 【二元函数在区域内的偏导数】 如果函数z = f (x , y )在区域D 内任一点 (x , y )处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x 、y 的函数，它就称为函数z = f (x , y )对 自变量x 的偏导数， ¶z ¶f 记作 ， ，z x 或f x (x , y ). ¶x ¶x 同理可以定义函数z = f (x , y )对自变量y 的偏 ¶z ¶f 导数，记作 ， ，z 或f (x , y ). ¶y ¶y y y (3) 【多元函数的偏导数】 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u =f (x , y , z) 在(x , y , z) 处 f (x +Dx , y , z) -f (x , y , z)