相似三角形是初中数学的一个重要是知识点,是初中数学的重要组成部分,在中招考试中越来越凸显它的重要地位.pdfVIP

良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》 通过一题多解 提升思维能力 ——相似三角形的应用 周口天立学校 刘延安 相似三角形是初中数学的一个重要是知识点，是初中数学的重要组成部分， 在中招考试中越来越凸显它的重要地位。而快速准确的解决相似三角形的应用， 提升学生的思维能力和分析解决问题的能力又是教学过程中必须关注的一个重 要问题。下面结合一道习题加以说明。 如图，在表彰为4 的正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，且 CF=3DF ，AE 、BF 相交于点G，则△AGF 的面积是____________ 。 结合图形结构分析，我们可以看出：△AGF 的面积等于△ABF 的面积减去△ABG 的面积。要表示三角形的面积，根据三角形的面积公式，需要知道三角形的底 边和对应边的高，于是我们可以以AB 边为底，分别过点F、G 作AB 边上的高线 FM、GN，如图所示。此时，容易知道FM=BC=4，只需要求出GN 的长就可以解 决问题了。下面就来探讨求 GN 的方法 。 方法一：借助平面直角坐标系，利用函数的方法求解 分析：如图，以点B 为原点，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 根据题意，BE=EC=2，DF=1，CF=3，容易知道这几个点的坐标 ：B(0，0) 、E （2,0 ）、 F （4,3 ）、A （0,4 ），进一步求出直线AE 、BF 的函数关系式，点G 是这两条直 线的交点，点G 的横坐标就是NG 的长 。 3 y  x 容易求出直线BF 的关系式为 4 直线AE 的关系式为y=—2x+4  16  3 x  11 y  x   4  12 y 2x 4 y  由  ，得  11 16 GN  于是， 11 海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？——《罗贯中》 1 1 S S S  AB FM  AB GN ∴ △AGF = △ABF— △ABG 2 2 1 1 16 56  44 4  2 2 11 11 方法二：添加辅助线，利用相似三角形的性质求解。 分析：如图，延长AE 、DC，相交于点H，根据题意BE=EC=2，DF=1，CF=3，可 以证明△ABE ∴△HCE，于是CH=AB=4，FH=7.根据AB//DH，可以得到 △ABG ∽△HFG.根据相似三角形的对应高的比等于相似比，可以求出NG 的长。 4 16 GN  4  11 11 S S S ∴ △AGF = △ABF— △ABG 1