华东师大版222 5 一元二次方程的根与系数的关系.docx

中学 集体备课资料 九年级数学（上） 备课组 课题 22.2 一元二次方程的解法（5） 一元二次方程的根与系数的关系 总第 7 课 课标要求：了解一元二次方程的根与系数的关系。 【导学目标】 知识与技能：1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 过程与方法：学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。 情感态度与价值观：培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇 于探索的精神 【导学核心点】 导学重点：一元二次方程的根与系数关系。导学难点：对根与系数关系的理解和推导。导学关键： 教具应用： 【导学过程】 一、知识链接 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.自学课本 P33-P34 21212分析：将（x- x1）（x-x ）=0 化为一般形式 x2-( x +x )x+ x x =0 与 2 1 2 1 2 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等 于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？ 中学 集体备课资料 九年级数学（上） 备课组 一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，它的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积， 得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等 于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. ○1 3x2+7x+2=0； 3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0； 3x2-7x-2=0； ○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，则 b= ,c= . ○2 已知关于 x 的方程x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根是值是 . ,k 的 ○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数，则 p= ; 若两个根互为倒数，则 q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. ○4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 中学 集体备课资料 九年级数学（上） 备课组 ○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ 3 5 x- 6 =0 ○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大. 分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，○6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的限制. 三、合作学习 完成课本练习 P35 补充练习： x ，x 1 2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值： 1 ? 1 x x ? x x x ? x ?x ? x ? x ? x ○1 ； ○2 2 2 ；○3 2 2 ； ○4 2 ；○5 2 1 x x 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 1 2 四、小结归纳 本节课应掌握： 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系