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几何解释:第1页/共175页 证第2页/共175页 第3页/共175页 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,第4页/共175页 例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第5页/共175页 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第6页/共175页 几何解释:证分析:弦AB方程为第7页/共175页 作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第8页/共175页 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论第9页/共175页 例2证第10页/共175页 例3证由上式得第11页/共175页 三、柯西(Cauchy)中值定理第12页/共175页 几何解释:证作辅助函数第13页/共175页 第14页/共175页 例4证分析:结论可变形为第15页/共175页 四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.第16页/共175页 思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.第17页/共175页 思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.第18页/共175页 练 习 题第19页/共175页 第20页/共175页 第21页/共175页 练习题答案第22页/共175页 定义例如,第23页/共175页 定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.第24页/共175页 证定义辅助函数则有第25页/共175页 例1解例2解第26页/共175页 例3解例4解第27页/共175页 例5解第28页/共175页 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解第29页/共175页 例7解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .步骤:第30页/共175页 例8解步骤:第31页/共175页 步骤:例9解第32页/共175页 例10解例11解第33页/共175页 例12解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．第34页/共175页 三、小结洛必达法则第35页/共175页 思考题第36页/共175页 思考题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．第37页/共175页 练 习 题第38页/共175页 第39页/共175页 第40页/共175页 练习题答案第41页/共175页 一、单调性的判别法定理第42页/共175页 证应用拉氏定理,得第43页/共175页 例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．第44页/共175页 二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:第45页/共175页 例2解单调区间为第46页/共175页 例3解单调区间为第47页/共175页 例4证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,第48页/共175页 三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.第49页/共175页 思考题第50页/共175页 思考题解答不能断定.例但第51页/共175页 当 时，当 时，注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增．第52页/共175页 练 习 题第53页/共175页 第54页/共175页 练习题答案第55页/共175页 第56页/共175页 一、函数极值的定义第57页/共175页 定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第58页/共175页 二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,第59页/共175页 定理2(第一充分条件)(是极值点情形)第60页/共175页 求极值的步骤:(不是极值点情形)第61页/共175页 例1解列表讨论极大值极小值第62页/共175页 图形如下第63页/共175页 定理3(第二充分条件)证第64页/共175页 例2解图形如下第65页/共175页 注意:第66页/共175页 例3解注意:函数的不可