《高等数学（下册）》教案 第1课 常数项级数的概念和性质.doc

第 课 第 课 常数项级数的概念和性质 1 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念和性质 第 课 1 PAGE 6 PAGE 6 PAGE 7 PAGE 7 《高等数学（下册）》教案 课时分配表 章序 课程内容 课时 备注 8 无穷级数 10 9 向量代数与空间解析几何 14 10 多元函数微分法及其应用 12 11 重积分 8 12 曲线积分与曲面积分 6 13 数学模型初步 4 14 MATLAB软件应用 4 其他 机动 4 考试 2 合计 64 课题 常数项级数的概念和性质 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握常数项级数的概念 （2）理解收敛级数的基本性质 思政育人目标： 通过讲解常数项级数的概念和性质，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：常数项级数的概念和基本性质、级数收敛的必要条件 教学难点：判断级数的敛散性 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：课前任务→考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 课前任务 【教师】布置课前问答题： （1）什么是常数项级数？ （2）常数项级数有何作用？ 【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材 通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望 考勤（2 min） 【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解（33 min） 【教师】通过具体问题推导出常数项级数的一般概念，并通过例题介绍其应用 计算半径为R的圆面积A，具体做法如下：如图8-1所示，作圆的内接正六边形，算出这六边形的面积，它是圆面积A的一个粗糙的近似值．为了比较准确地计算出A的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为，那么（即内接正十二边形的面积）就是A的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为，那么（即内接正二十四边形的面积）是A的一个更好的近似值．如此继续下去，内接正n边形的面积就逐步逼近圆的面积，即 ． 图8-1 如果内接正多边形的边数无限增多，即无限增大，则的极限就是所要求的圆的面积A．这时，和式中的项数无限增多，于是就出现了无穷多个数量依次相加的数学表达式． 定义1 如果给定一个无穷数列 ， 按顺序用加号连接这个数列的所有项构成的表达式 称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为，即 ， （8-1） 其中第项称为级数（8-1）的一般项或通项． 我们记级数（8-1）前项之和为 称为级数（8-1）的部分和．令，则构成部分和数列 根据这个数列是否有极限，引入无穷级数收敛和发散的概念． 定义2 如果当时，的极限存在，记为，即 则称级数（8-1）收敛，并称为级数（8-1）的和，写成 ； 如果数列的极限不存在，则称级数（8-1）发散． 按定义，级数与数列同时收敛或同时发散，且在收敛时有 即． 例1 讨论等比级数（又称几何级数） 的敛散性． 解 当时，根据等比数列的求和公式，所给级数的部分和为 ． 当时，由于，所以，此时级数收敛，其和为． 当时，由于，所以，此时级数发散． 如果，则当时，，级数发散；当时，级数成为 ， 因为随着为奇数或偶数而等于或0，所以的极限不存在，这时级数也发散． 综上所述，如果，则级数收敛，其和为；如果，则级数发散． （例2、例3详见教材） 【学生】理解常数项级数的一般概念，并掌握其应用 学习常数项级数的概念。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解（20 min） 【教师】讲解收敛级数的5个基本性质及其证明过程 性质1 如果级数收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛，且其和为． 证明 设与的部分和分别为与，则 这表明级数收敛，且收敛于． 性质2 如果级数分别收敛于和，则级数也收敛，且其和为．