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实验二 线性方程组的求解
1 实验目的
1. 深入熟悉掌握 的线性方程组求解函数：\
2. 学习化工领域典型线性方程组的求解；
3. 练习 语言编程。
2 知识要点
2.1 \的使用
无论是洽定、超定和欠定线性方程组， 的\运算符都可以给出解。使
用\运算符求解线性方程组时，方程组必须标示成矩阵的形式：
a11 a12 a1n x1 b1
a21 a22 a2n x2 b2
a a a x b
m1 m2 mn n n
简写为：Ax=b ，则可以采用左除命令进行求解。例如求解以下线性方程组：
x + 2x + 3x 2
1 2 3
2x + 3x + 4x 3
1 2 3
3x + 4x + 4x 3
1 2 3
在命令窗口输入：
>> A=[1 2 3;2 3 4;3 4 4];
>> b=[2;3;3];
>> x=A\b
则可获得正确结果 x=[1, ‐1, 1]。注意如果 b 矩阵为一个列向量，如果输入：
>> b=[2 3 3];
则将返回如下矩阵维数不匹配的错误信息：
??? Error using ==> mldivide
Matrix dimensions must agree.
2.2 线性方程组的迭代求解方法
的\运算符虽然功能很强大，但在求解超大型线性方程组时，仍然存
在计算量和 空间大的缺陷，此时可采用迭代方法进行求解。对于线性方程组
Ax=b ，如果系数矩阵 A 成 A=D‐L‐U ，其中 D＝diag(a11,a22,… ，ann)为对角阵，
‐L 为严格下三角阵（不包括主对角线元素），‐ U 为严格上三角阵。则可以推导出
以下迭代求解格式：
雅可比迭代： x(k+ 1) D− 1 (L + U)x (k ) + D−1b
(k+ 1) (D − L)− 1 (k) + (D − L)− 1
‐赛德尔迭代： x Ux b
SOR 迭代：x(k+ 1) (D − L)− 1[(1 − )D + U ]x (k ) + (D − L)− 1b
3 实验内容
3.1 稳态过程模拟中的线性方程组求解
物料衡算是化工过程设计的基础，在一些简单情况下，物料衡算方程是一个
线性方程组。例如：一个化工厂有 3 个蒸汽来源和 14 个蒸汽使用单元，对其进
行物料衡算可得如下方程组：
x 1 + x2 + x3 43.93
1.17x 1 − x4 0
x5 95.798
x3 + x5 − x6 − x7 − x8 + x 13 99.1
x6 + x7 + x8 + x9 − x 10 − x 11 −8.4
x4 − x 13 24.2
x 1 − x4 − x 10 + x 14 189.14
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