(完整版)勾股定理与几何证明答案.pdfVIP

1、勾股定理与几何证明的综合问题 练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90 °，CD 是AB 边上的高. 证明： （1）CD2 AD •BD （这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果） 1 1 1 （2 ）   AC 2 BC2 CD2 练习二、将勾股定理应用于四边形 1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD. （1）证明：若AC BD ，则AB 2 CD2 AD 2 BC 2 ； 2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1 的正方形各边上，其边长依次为a、b 、c、d. 求证：2 a2 b2 c2 d 2 4 . 假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ 都 在 正 方 形 ABCD 的 四 个 边 上 ， 所 以 有 四 个 直 角 三 角 形 ∴a²+b²+c²+d²=m1²+m2²+n1²+n2²+p1²+p2²+q1²+q2² ∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同 理） ∴a²+b²+c²+d²=m1²+(1-m1)²+n1²+(1-n1)²+p1²+(1-p1)²+q1²+(1-q1)² 整理之后得到： a²+b²+c²+d² =2*(m1-1/2)²+1/2+2*(n1-1/2)²+1/2+2*(p1-1/2)²+1/2+2*(q1-1/2)²+1/2 =2*[(m1- 1/2)²+(n1-1/2)²+(p1-1/2)²+(q1-1/2)²] + 2 m1 、n1 、p1 、q1 的长都是最大为1 最小为0 它们 都等于1/2 时值最小，都等于1 时值最大 那么a²+b²+c²+d²的最小值就是2，最大值就是4 练习三、勾股定理结合图形变换 1、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45 °，AD ⊥BC ，BD ＝3，CD＝2，求△ABC 的面积。 证明： 分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 的轴对称图形， D 点的对称点为E 、F，延长EB 、FC 相交于G 点， 得到四边形AEGF 是正方形， 根据对称的性质可得：BE=BD=2 ，CF=CD=3， 设AD=x ，则正方形AEGF 的边长是x ， 则BG=EG-BE=x-2 ，CG=FG-CF=x-3， 2 2 2 在直角△BCG 中，根据勾股定理可得：（x-2 ）+ （x-3 ）=5 ， 解得：x=6 ； 4 、已知,如图在四边形ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.求证: 2 2 2 BC AB BD 证明：连结AC, 因为AD=DC, ∠ADC=60° 则△ACD 是等边三角形. 过B 作BE ⊥AB,使BE=BC, 连结CE,AE 则∠EBC=90°-∠ABC=90°-30°=60° ∴△BCE 是正三角形, 又∠ACE= ∠ACB ＋∠BCE= ∠ACB ＋60° ∠DCB= ∠ACB ＋∠ACD= ∠ACB ＋60° ∴∠ACE= ∠DCB 又DC=AC,BC=CE 所以△DCB ≌△ACE 所以AE=BD 在直角三角形ABE 中 AE 2  AB 2  BE 2 即BD 2  AB 2  BC 2