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《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§例 4 改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集 S 有下确界，且 ? ? inf S ? S ，试证： （１）存在数列{an } ? S , 使 lim an ? ? ； n?? （２）存在严格递减数列{an } ? S , 使 lim an ? ? ． n?? 证明如下： （１）据假设， ?a ? S ,有a ? ? ；且 ?? ? 0, ? a? ? S , 使得? ? a? ? ? ? ? ．现依 ?次取 ?n ? 1 , n ? 1, 2 ,? , 相应地 ? a ? S ,使得 n nnn? ? a ? ? ? ? , n ? 1 , 2 , ? n n n n 因 ? n ? 0 (n ? ?) ，由迫敛性易知 lim a nn? ? n ? ? . n（２）为使上面得到的 {a } 是严格递减的，只要从 n ? 2 起，改取 n ? n?? min? 1 , ? ? ? n ? n ? ? , n ? 2, 3, ? ， n? n? ?1 就能保证  a ? ? ? ( a ? ? ) ? ? ? ? ? a , n ? 2, 3,? ． □ n ? 1 n ?1 n n ２．证明§例６的（ⅱ）． 证 设 A, B 为非空有界数集， S ? A ? B ，试证： inf S ? min ?inf A , inf B ?． 现证明如下． 由假设， S ? A ? B 显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 x ? S , 有x ? A 或 x ? B ，由此推知 x ? inf A 或 x ? inf B ，从而又有 x ? min ?inf A , inf B ? ? inf S ? min ?inf A , inf B ?． 另一方面，对任何 x ? A, 有 x ? S ，于是有 x ? inf S ? inf A ? inf S ； 同理又有inf B ? inf S ．由此推得 inf S ? min ?inf A, inf B ?． 综上，证得结论 inf S ? min ?inf A , inf B ?成立． □ ３．设 A, B 为有界数集，且 A ? B ? ? ．证明： （１） sup( A ? B ) ? min ?sup A , sup B?； （２） inf ( A ? B ) ? max ?inf A , inf B?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）．设 ? ? inf A , ? ? inf B ．则应满足： ? x ? A , y ? B , 有 x ? ? , y ? ? ． 于是， ? z ? A ? B ，必有  ?z ? ? ? ? z ? ? ?  ? z ? max?? , ? ?， 这说明 max?? , ??是 A ? B 的一个下界．由于 A ? B 亦为有界数集，故其下确界存在， 且因下确界为其最大下界，从而证得结论 inf ?A ? B?? max ?inf A , inf B?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 A ? ( 2 , 4 ) , B ? ( 0 , 1) ? ( 3 , 5) , 则 A ? B ? ( 3, 4 ) ， 这时 inf A ? 2 , inf B ? 0 , 而 inf ( A ? B ) ? 3 ，故得 inf ?A ? B?? max ?inf A , inf B?． □ ４．设 A, B 为非空有界数集．定义数集 A ? B ? ?c ? a ? b a ? A, b ? B ?， 证明： （１） sup( A ? B) ? sup A ? sup B ； （２） inf ( A ? B) ? inf A ? inf B ． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 由假设，? ? inf A , ? ? inf B 都存在，现欲证 inf ( A ? B) ? ? ? ? ．依据下确界定义， 分两步证明如下： １）因为 ?x ? A, y ? B, 有 x ? ?, y ? ?, 所以 ?z ? A ? B ，必有 z ? x ? y ? ? ? ? ． 这说明 ? ? ? 是 A ? B 的一个下界． ２） ?? ? 0 , ? x ? A, y ? B ，使得 0 0 ? ? x ? ? ? , y 0 2 0 ? ? ? ． 2 从而 ? z ? x ? y ? A ? B , 使得 z ? ( ? ? ?) ? ? ，故 ? ? ? 是 A ? B 的最大下界．于 0 0 0 0 是结论 inf ( A ? B) ? inf A ? inf B 得