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第二节 标准正交基 设V 是一个n 维欧氏空间，在V 中取定一个基为 ?1, ?2, …, ?n，则对于V 中任意两个向量 ? 和?，有从而由内积的性质，得第一页，共七页。
上式表明? 与? 的内积可以通过基向量之间的内积以及向量在这个基下的坐标来表示。若令记第二页，共七页。
则?与?的内积可表示为其中分别为? ，? 在基 ?1, ?2, …, ?n下的坐标向量，称矩阵A 为基 ?1, ?2, …, ?n 的度量矩阵。例1 设?1， ?2， ?3， ?4是欧氏空间V 的一个基，其度量矩阵为第三页，共七页。
是V 中的两个向量，试求（?, ?）.解第四页，共七页。
容易看出，如果度量矩阵 A 是单位矩阵E, 那末向量内积的表达形式最简单。定义5 在欧氏空间V 中，一组非零的两两正交的向量组称为欧氏空间的一个正交向量组。定义6 在n 维欧氏空间 V 中，由 n 个两两正交的非零向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量构成的正交基称为标准正交基。 对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。设?1, ?2, …, ?n 是一个标准正交基，由定义，有第五页，共七页。
因此，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵。 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来。设则于是，第六页，共七页。
在标准正交基下，向量的内积有特别简单的表达式。设于是，定理 2 设 ?1, ?2, …, ?n是n 维欧氏空间V 的一个标准正交基，若则向量组?1, ?2, …, ?n 是V 的一个标准正交基的充要条件是A为一个正交矩阵，即ATA = E。第七页，共七页。
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