数学建模实验报告.doc

数学建模实验报告 软件93 葛灵佳 题目一: 一、 实验题目: 有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。设每个乘客在任何一楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。 二、 题目分析: 题目要求让求电梯停次数的数学期望，而每个乘客在任意一楼出电梯的概率相同。所以可以从两方面建立数学模型。 (1)从电梯停的次数直接入手，分别求出停1.2.3…r次的概率，再求期望。 (2)从每个人在没一层停的概率都相同入手，所以在每一层电梯停的概率也都一样。求出每层电梯的停的概率就可以求出期望。 三、 模型建立求解: (1) 从电梯停的次数出发: 先假设模型中r<n。 rR个人是不同的，N层楼也是不同的，所以不同的n中: 1cn电梯停1次的概率P1= ; rn 21rcc(2),n2电梯停2次的概率为P2= ; rn 3211rrcccc(3(2)),,,n323电梯停3次的概率为P3= ; rn …… …… …… …… 电梯停k次的概率为: krkkr,,12211ckccccc((..........)(.......)......(2)),,,,,,nkkkk2PK= rn 式子的含义是:P1是在n层中选一层停，很容易理解;P2是在n层 2中选2层任意选所以是，然后再这2层中，不同的r个人选择出电梯时cn r1有种不同的方法，但是其中包括中在一层出电梯的方法，所以要减去2c2 r排除;同理，P3是3种不同的3层出电梯方法，再减去从2层、从1层出电梯的方法;再可推出PK。 Pk没具体给出。 由上述式子，设: r1 P1= / ncan1 r2 P2= / ncan2 r3 P3= / ncan3 …… rK PK= / ncanK 综合上述式子可得: a,1k,1,,1 ,,rk,121akcacaca,,,,,..........k,1kkkkk,121,, 式子是个递归的式子。所以可以编写一个递归程序来得出数学期望。 EPPKPRP,，，，，，2............12KR (2) 从在每一层停的概率出发: 对每一层电梯的停与不停的概率都是相同的，每个人从一层电梯 n,1r，出来的概率都是1/n，所以r个人不从某层电梯出来的概率是:()n n,1r1(),所以从某一层电梯出来的概率是。 n n,1r1(),r个人从每一层电梯出来的概率都是，及电梯在每层停n n,1r1(),的概率都是P=。又每层如果停的话，只停一次。 n 由期望的定义可得: n,1rEnPn,,,(1()) n 再用matlab进行模拟验证: n=8; //8层楼 r=20; //20个人 stop=0; //10000次试验，一共停次数 s=0; //每次停的次数 t=[0,0,0,0,0,0,0,0,0]; //t代表没一层是否停，1停，0不停 x=rand(10000,20); for i=1:10000 t=[0,0,0,0,0,0,0,0,0]; for j=1:20 if x(i,j)>0.875 t(8)=1; end if x(i,j)>0.75 if x(i,j)<0.875 t(7)=1; end end if x(i,j)>0.625 if x(i,j)<0.75 t(6)=1; end end if x(i,j)>0.5 if x(i,j)<0.625 t(5)=1; end end if x(i,j)>0.375 if x(i,j)<0.25 t(4)=1; end end if x(i,j)>0.25 if x(i,j)<0.375 t(3)=1; end end if x(i,j)>0.125 if x(i,j)<0.25 t(2)=1; end end if x(i,j)<0.125 t(1)=1; end end s=t(1)+t(2)+t(3)+t(4)+t(5)+t(6)+t(7)+t(8); stop=stop+s; end [stop/10000] 运行结果为: ans =7.5169 81,20EnP,,,8(1())与期望计算值=7.4463，与模拟量相差不大。 8由此可见，此模型基本符合实际情况。 题目二: 一、 实验题目: 27个立方形空盒排成3*3*3的三位矩阵。如果三个盒子在同一条水 平线上，或同一条垂直线上，或同一条对角线上，则认为三盒一线。这样 的线共有49条:水平线18条，垂直线9条，水平对角线6条，垂直面对 角线12条，对角线4条。 现有白球13个，黑球14个，每个盒子中放入一球，如何投放，使 有