培训资料3.4 Gauss求积公式 .ppt

3.4 Gauss求积公式;3.4 Gauss求积公式;3.4.1 Gauss求积公式的基本理论;例3.5 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。;它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。 ; 如果象例3.5那样，直接利用代数精度的概念去求n=1个Gauss点和 n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但 当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。下 面从分析Gauss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题 。;证. 先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 的次数不超过 2n+1。因此,如果 是Gauss点，则求积公 式（3.4.1）对于 是准确成立的，即有 但 故（3.4.2）成立。;注意到 知 ，从而有 由此可见，公式（3.4.1）对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。 ; 推论 n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点。;则由;3.4.2 常用Gauss求积公式;当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 。此时，公式（3.4.3）即为例3.5所给出的公式。;使 时， ，并有 ;表3-5;例3.7 用Gauss-Legendre求积公式(n=1,2)计算积分;以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为;(3.4.4);3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性;对于两点Gauss-Legendre求积公式有;对比Newton-Cotes求积公式,Gauss求积公式不但具有高精度,而且是数 值稳定的.Gauss公式的稳定性之所以能够得到保证,是由于它的求积系数 具有非负性.;在实际计算积分的近似值 时， 不能精确地 取到，一般只能是近似值，设 实际求 得的积分值为;因此，（3.4.6）成立，定理成立。 由定理3.7可知，数据误差对于求积公式计算值的影响是可以控制的，即 Gauss求积公式在数值计算中是稳定的。3.4 Gauss求积公式;3.4 Gauss求积公式;3.4.1 Gauss求积公式的基本理论;例3.5 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。;它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。 ; 如果象例3.5那样，直接利用代数精度的概念去求n=1个Gauss点和 n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但 当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。下 面从分析Gauss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题 。;证. 先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 的次数不超过 2n+1。因此,如果 是Gauss点，则求积公 式（3.4.1）对于 是准确成立的，即有 但 故（3.4.2）成立。;注意到 知 ，从而有 由此可见，公式（3.4.1）对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。 ; 推论 n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点。;则由;3.4.2 常用Gauss求积公式;当n=1时，二次Legendre多项式 零点为 。此时，公式（3.4.3）即为例3.5所给出的公式。;使 时， ，并有 ;表3-5;例3.7