第一节几何向量.ppt

第三节 向量的内积与欧几里德空间 由上一节可以看出，几何向量的全体按照几何向量的线性运算构成实数域上的一个一线性空间，几何向量空间中可以定义向量的内积，且具有如下四条性质： （1） （2） （3） （4） ，且 当且仅当 定义 设V是实数域R上的线性空间，若对任意 都有唯一的实数与之对应，且对任意 以及任意的 满足： （1） （2） （3） （4） ，且 当且仅当 几何向量空间中的内积可以推广到一般线性空间中去。 则称 为向量 与 的内积。 例 在线性空间 中，对任意向量 ， ，定义 ， 则 为 上的内积。 性质 （1） （2） （3） 定义 称 为向量 的长度，记为 ，长度为1的向量称为单位向量。 例 在欧氏空间 中， 与 的内积 ，则 。 定义 实数域上的线性空间定义了内积后称为欧几 里德空间，简称为欧氏空间。 长度的性质 （1） ， 当且仅当 （非负性） （2） （齐次性） （3） （三角不等式） 引理（柯西-许瓦兹不等式）， 且等号成立当且仅当 ， 线性相关。 证明 考虑 ， 则根的判别式 ，即 。 若等号成立，则存在k使得 ，从而 ，所以 ， 线性相关。 若 ， 线性相关，1） ，显然等号成立；2） ，则存在使得，代入得等号成立。 下面仅证明性质（3） 因为  两边开方得 。 例 在欧氏空间 中，内积的定义见例 由柯西-许瓦兹不等式得，对任意 , 有 例 在线性空间 中，对任意 ，定义 ，则 是上的内积，由柯西-许瓦兹不等式有 例 证明 一方面 另一方面，因为 ， 所以 所以有 。 例 证明 结论 零向量与任意向量正交。 定义 一组两两正交的非零向量称为正交向量组，由单位向量组成的正交向量组成为标准正交向量组。 定义 为欧氏空间V中的非零向量，称  为 与 的夹角。当 时，称 与 正交，记为 。 定理 正交向量组线性无关。 证明 设 为正交向量组，则 令 则 即 因为 ，