八年级数学下册专题12 一次函数中的菱形.docx

专题12 一次函数中的菱形 【例题讲解】 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在、轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一个动点．（1）求的值； （2）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴ 轴， 轴， ∵一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE， ∴OD=BE=b，∵点B的坐标为（6，8），∴AB=8，点E的横坐标为6， ∴AE=AB-BE=8-b，∴点E（6，8-b），将点E代入，得： ，解得： ； （2）如图（1），若以OD为对角线，得到菱形OMDN， 则MN垂直平分OD，M和N关于y轴对称，∵OD=6， ∴点M的纵坐标均是 ， 将 代入，得： ，解得： ， ∴点M ，∴点N； 如图（2），若以DM为对角线，得到菱形ODNM，则OM=OD=6，线段DM与线段ON的中点重合， 设点M的横坐标为a，则纵坐标为， ∴ ， 即 ，解得： 或（舍去） ，∴点M，设点N ，由（1）知： ， ∴ ，解得： ，∴点N ， 综上所述，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，点N的坐标为或． 【综合演练】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（4，5），直线l的解析式为y＝kx+2﹣4k（k＞0）． （1）当直线l经过原点O时，求一次函数的解析式； （2）通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C； （3）在（1）的条件下，点M为直线l上的点，平面内是否存在x轴上方的点N，使以点O、A、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 2．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点． （1）求b的值； （2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； （3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标． 3．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点． 操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，． (1)如图，当点落在边上时，求点的坐标； (2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：； (3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，过点的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程的两个根． （1）判断直线AC与直线AB的位置关系？并说明理由； （2）如图2，若点D在直线AC上，且△BCD为等边三角形，动点E在直线AC上（不与点D、C重合），做直线BD，垂足为点F，设点EF的长为d，点E的横坐标是x，请求出d与x的函数关系式： （3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是菱形，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处． （1）求F点的坐标； （2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标； （3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标． 6．如图，已知四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，点B坐标为（，4），将△OCB绕点O顺时针旋转90°后得到△ODE，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H． （1）求点D的坐标为_______，点E的坐标为______； （2）求S△BOH：S△BOD的值； （3）若点M在坐标轴上，试探究在坐标平面内是否存在点N，使以点D，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连． (1)求直线的解析式． (2)当为中点时，求的长． (3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐