椭圆的极坐标方程及其应用.docVIP

椭圆的极坐标方程及其应用 椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为且过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，椭圆的离心率为，焦准距为，请利用椭圆的第二定义推导，并证明: 为定值 改为：抛物线 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，求。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o,，求椭圆C的离心率； 　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围. 作业1. （08年宁夏文）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点, 为坐标原点, 则△的面积为 . 作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,求。 作业3. （15年四市二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在椭圆 上，对角线与分别过椭圆的左焦点和右焦点，且，椭圆的一条准线方程为 （1）求椭圆方程； （2）求四边形面积的取值范围。 练习4.（08年安徽文）已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知过点F1(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.求证： （Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值. 作业5. 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,求弦AB的中点到准线的距离. 参考答案： 例1. 练习1. 例2. 练习2.. 例3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为. 因焦点为，故半焦距.又右 准线的方程为，从而由已知 ， 因此. 故所求椭圆方程为. （Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为,并设,不失一般性 假设,且 又设点在上的射影为,因椭圆的离心率,据椭圆第二定义得 . 又 (定值) 方法二:记椭圆的右顶点为,并设,不失一般性假设,且 ,另设点,则 点在椭圆上, ,以下同方法一 (定值) 推广： 引理1:. 证明:-----------------------(1) ----------------------(2) …… ----------() 将上述个式子相加得 证明:记椭圆的右顶点为,并设,不失一般性 假设,且 又设点在上的射影为,据椭圆第二定义得 . 在引理1中,令,则 . 练习3. 解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 因为△MNF为正三角形， 所以, 即1＝ 因此，椭圆方程为 (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对mR恒成立. 当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<(舍去)，即a>, 综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）. 解法二。 作业1. 作业2【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。 解:过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得. 作业3. 作业4. 作业5.