2023-2024中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析(1).docVIP

2023中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析(1) 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好，,．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到．参考数据：.） 【答案】AB的长约为． 【解析】 【分析】 作于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可． 【详解】 解：作于F， 在中，， ， 在E中，， 由勾股定理得，， 答：AB的长约为． 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为. 【解析】 【分析】 （1）连接，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作于点，证明，得，从而得解. 【详解】 （1）证明：连接，则： ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵轴 ∴ ∴ ∴直线为的切线. （2）①如图1，当位于上时： ∵ ∴ ∴设，则 ∴ ∴，解得： ∴ 即 如图2，当位于的延长线上时： ∵ ∴设，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 即 ②如图，作于点， ∵是直径 ∴ ∴ ∴ ∵半径 ∴ ∴的最大值为. 【点睛】 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 3．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上． （1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； （2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号） （参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37?＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈） 【答案】（1）观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截. 【解析】 【分析】 （1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可； （2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】 （1）在中，. 在中，，所以（海里）. 答：观察哨所与走私船所在的位置的距离为15海里. （2）过点作，垂足为，由题意易知，在一条直线上. 在中，，. 在中，， 所以. 所以. 设缉私艇的速度为海里/小时，则有，解得. 经检验，是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时海里的速度行驶时，恰好在处成功拦截. 【点睛】 此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE； （2）若KG2=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ． 【解析】 试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE； （2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可