《点集拓扑讲义》第三章子空间(有限),积空间,商空间学习笔记.pdf

第3 章 子空间 （有限）,积空间，商空间 第3 章 子空间 （有限）,积空间，商空间 在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的 在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的 办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2 中我们只讨论有限个拓扑 办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2 中我们只讨论有限个拓扑 空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． 空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1 子空间 §3.1 子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空 间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集 间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集 之间的关系及表示法． 之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种 “自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立 “自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立 的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题， 的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题， 我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须 要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对 要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对 点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离 点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离 当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： ρ ρ 定义 3.1.1 设 （X， ）是一个度量空间，Y 是 X 的一个子集.因此，Y×Y 定义 3.1.1 设 （X， ）是一个度量空间，Y 是 X 的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然 ：Y×Y→R 是 Y 的一个度量（请自行验证）．我们称 Y 的度量 ， X×X．显然 ：Y×Y→R 是 Y 的一个度量（请自行验证）．我们称 Y 的度量 ， ρ ρ ρ ρ ρ ρ 是由 X 的度量 诱导出来的度量.度量空间 （Y， ）称为度量空间 （X， ）的 是由 X 的度量 诱导出来的度量.度量空间 （Y， ）称为度量空间 （X， ）的 一个度量子空间． 一个度量子空间． 1  *  21  1  *  21  第 页 共 页 第 页 共 页 我们常说度量空间 Y 是度量空间 X 的一个度量子空间，意思就是指 Y 是 X 的 我们常说度量空间 Y 是度量空间 X 的一个度量子空间，意思就是指 Y 是 X 的 一个子集，并且 Y 的度量是由 X 的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的 一个子集，并且 Y 的度量是由 X 的度