第五章一阶剪切板理论及其变分原理.pdfVIP

第五章 一阶剪切板理论及其变分原理 薄板理论在理论和工程实际中都取得了辉煌成就，它也已经被写入了许多工科专业的教 材中。但是该理论中忽略了横向剪切对板变形的影响，只适应于板很薄的情形。为此，Reissner 首先提出了考虑横向剪切变形的板理论，Mindlin 进一步考虑了转动惯量以分析板的动力特 性。因此这种板理论经常被称为Reissner 板理论，或者Mindlin 板理论，或者Reissner-Mindlin 板理论。为了统一，我们称之为一阶剪切板理论。 第一节 基本理论 一、位移假设 薄板理论中Kirchhoff 给出了直法线假设，Reissner 则放松了该假设中中面法线变形后仍 垂直于中面的限制。只是保留了中面法线仍然为直线的假设。根据此假设，板内任意一点的 位移为 u =−zψ ，v z ，w w x, y (5.1.1) x =−ψy ( ) 式中ψ 和 是二个未知的转角位移。在薄板理论中它们分别等于∂w ∂x 和∂w ∂y ，而在 x ψy 一阶剪切板理论中它们是独立于挠度w 的，所以该理论中就有三个广义位移。那么板内非 零的应变分量有 ∂ψx ∂ψy ∂ψx ∂ψy  ε =−z ，ε =−z ，γ =−z + (5.1.2) x y xy   ∂x ∂y  ∂y ∂x  以及 ∂w ∂w γxz =−ψx ， γyz =−ψy (5.1.3) ∂x ∂y 从式(5.1.3)可以发现，在薄板理论中为零的两个剪切应变γxz 和 不再为零，而是在截面上γ yz 成为一个常数。这也是一阶剪切变形板理论名称的由来。 与薄板理论中一样，同样忽略掉σ ，那么板理论中的应力和应变关系可以写成 z     σx 1 υ 0  εx   E     σ υ 1 0 ε (5.1.4)     y 1−υ2   y   1   τ υ γ xy 0 0 2 (1 − ) xy     以及  τ 1 0  γ xz   xz 