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2021 年中国数学奥林匹克(CMO)试题(第一天)
2021 年12 月21 日
1.给定正实数a,b 和平面上第两个点A,B ,满足AB a .平面上取两个点 , 满足
C D
ABCD 是一个非退化点凸四边形,并且BC CD b, AD a .易知四边形ABCD 有内
切圆,求内切圆圆心的轨迹.
2.求最大的实数λ,使得对任意p q r s ∈ ,都存在一个复数z a =+bi 满足b ≥λ a ,
, , , +
并且z 是如下方程的根:
(pz 3 +2qz 2 +2rz +s )(qz 3 +2pz 2 +2sz +r ) 0
3.求所有a ∈,使得存在一个六元集合 满足对 ,方程
X k 1, 2,,36
ax +y −k ≡0(mod37)
均存在解 x y 满足 .
( , ) x , y ∈X
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