数学建模培训班第2章附录.pptx

第二章附录 ;思考题#2-1①;思考题#2-1②;思考题#2-1③;解: 取x0=13,M=50亿,按人口公式(1.5), 2024年我国人口为 50/(1+(50/13-1)e-0.1174)=14.16亿; 该年生产总值为2004年的 1.0820 =4.66倍. 设2024年我国人均生产值是2004年的x倍,则有x(1:13)=4.66:14.16,由此解得: x=4.66?13/14.16=4.278. 答案:2024年我国人均生产值预测是2004年的4.278倍.(翻两番有余);追逐问题:如下图所示,在直角坐标平面o-xy上点A,B分别表示兔与狐的位置.设兔从原点出发以常速v沿与x轴正向夹角为?的方向逃跑,狐则从点(a,0)出发以常速w追逐.试求狐B的运动曲线?,并分析v,w值的相对大小对最后追逐结果的影响. 模型假设:任何时刻,狐B的运动方向都准确地指向兔A,即直线AB是曲线?过点B的切线.;;令时刻t狐的位置为 B=(x(t),y(t)),我们要寻求B的两坐标之间的函数关系: y=f(x),此函数的图形就是所欲求的运动曲线?.按假设,时刻t兔的位置为A=(vtcos?,vtsin?).我们已经知道任何时刻,点A都在曲线?过点B的切线上. 由导数的几何性质进一步得曲线?满足的微分方程是: ;在直角坐标系下推出的数学模型是上面的微分方程(5.3)?,因这个复杂的微分方程很难求解,故很难用它解决问题. 一个好的想法是用斜角坐标系代替原来的直角坐标系,理所当然地应把y轴正向取为兔逃跑的方向(x轴仍取为水平向右).这里必须要求??0或?(否则y轴与x轴共线组不成坐标系). 对于?=0和?的情形很容易解决.当?=0时,狐总能追上兔,追上兔的时间是:a/(w+v). 当?=?的时,t时刻狐与兔之间的距离是a-t(w-v),从而狐能追上兔的充要条件是w>v,追上兔的时间是:a/(w-v).;如下图所示,设0<?<?,把y轴正向取为兔逃跑的方向,x轴仍取为水平向右,建立平面斜角坐标系. 由导数的几何性质进一步得曲线?满足的微分方程是: dy/dx=-(vt-y)/x, (5.3) 满足的初始条件是: y(a)=y?(a)=0. (5.4) 因(5.3),(5.4)与直角坐标系时完全一样,故可用同样方法化简. ;;因微分方程(5.3)含有参数t,很不便于求解,故先设法简化它.一种简化方法是将它等价地化为容易求解的高阶方程. 令 y?=dy/dx, y??=d2y/dx2, 则(5.3)可写成 xy?-y=-vt. 将此式两边对 x 求导得 xy??=-vdt/dx. (5.5) ;令s是沿曲线??从点I(a,0)到点B(x(t),y(t))的弧长,则 ds/dx=-((dx)2+(dy)2-2|dx|dycos?)1/2/|dx| =-(1+y?2-2cos?y?)1/2 =-(b+(y?-cos?)2)1/2, 其中b=1-cos2??0.由假设知 ds/dt=w,从而 dt/dx=(dt/ds)(ds/dx) =(1/w)(-(b+(y?-cos?)2)1/2). 将此式代入(5.5)即得与(5.3)等价的微分方程: xy??=k(b+(y?-cos?)2)1/2, k=v/w, (5.6)? 其中b=1-cos2??0.;;(5.6)?与书上的(5.6)只相差很小,只需做一点点改变就可以完全用书上的方法给出此问题的解答. 请对此问题有兴趣的同学完成我未做完的事,即求出狐B的运动曲线?,并分析v,w值的相对大小对最后追逐结果的影响.