(公开课)指数函数的图像及其性质.ppt

2.1.2 指数函数及其性质 问题 引入 问题 1 、某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个， 1 个这样的细胞分 裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数 关系式是什么？ 研究 分裂 次数 1 次 2 次 3 次 4 次 x 次 …… y ? 2 x 细胞 总数 2 个 2 1 4 个 2 2 8 个 2 3 16 个 2 4 2 x 问题 引入 问题 2 、《庄子 · 天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取 x 次后，木棰剩余量 y 关于 x 的函数关 系式？ 研究 截取 次数 1 次 2 次 3 次 4 次 x 次 1 x y ? ( ) 2 木棰 剩余 1 尺 2 1 尺 4 1 尺 8 1 尺 16 1 x ( ) 尺 2 提炼 1 x y ? 2 y ? ( ) 2 设问 1 : 以上两个函数有何 共同特征 ? x ( 1 ) 均为幂的形式 ; ( 2 ) 底数是一个正的常数 ; ( 3 ) 自变量 x 在指数位置 . y ? a x 指数函数的定义 : 一般地，函数 叫做指 数函数，其中 x 是自变量 , 函数的定义 域是 R. 注意三点： （ 1 ）底数：大于 0 且不等于 1 的常数 （ 2 ）指数：自变量 x （ 3 ）系数： 1 x y ? a ( a ? 0, 且 a ? 1 ) ? 思考 2 ：为什么要规定 a ? 0 且 a ? 1 ? ? 0 ? 1 a x 当 a<0 时， a 不一定有意义， 1 1 如 ? － 2 ? ，当 x ? ， ? 等等， 2 4 在实数范围内函数无意 义。 x 当 a=0 时， 当 a=1 时 , 当 a>0 时 , x>0 x≤0 a ? 0 x x ，无研究价值 a 无意义 x y ? 1 ? 1 常量，无研究价值 对任意实数有意义 为了便于研究，规定： a>0 且 a≠1 例题 （口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？ ① y ? x 2 √ ② y ? 8 x √ ③ y ? (2 a ? 1) x ④ y ? ( ? 4) x √ ⑤ y ? ? x ⑥ 1 y ? 5 2 x 2 ? 1 a ? 2 且 a ? 1 ⑦ y ? x x ⑧ y ? ? 10 x ( ) 设问 2 ： 得到函数的图象一般用什么方法？ 列表、描点、连线作图 在同一直角坐标系画出 y ? 2 x ? 1 ? ， y ? ? ? 的图象， ? 2 ? x 并思考：两个函数的图象有什么关系？ x … - 3 - 2 - 1 0.5 2 7 8 - 0.5 0.71 1.4 0 1 1 0.5 1.4 1 2 2 4 3 8 … … 2 ? x 2 x … 0.13 0.25 … 8 4 0.71 0.5 0.25 0.13 … 6 ? 1 ? y ? ? ? ? 2 ? x 5 y ? 2 x 4 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 认识 指数函数 的图像及性质 a>1 0<a<1 y=a x (a>1) 图 象 y=1 y y=a x (0<a<1) y (0,1) y=1 (0,1) 0 当 x > 0 时， y > 1. 当 x < 0 时， . 0< y < 1 x 0 时， y > 1 ； x 当 x < 0 当 x > 0 时， 0< y < 1 。 R 定 义 域 : ( 0 , + ∞ ) 性 值 域 : 恒 过 点： ( 0 , 1 ) , 即 x = 0 时 , y = 1 . 质 在 R 上是单调 增 函数 在 R 上是单调 减 函数 奇偶性： 非奇非偶函数 例题讲解 例 1 ：已知指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a≠1) 的 图象经过点（ 2 ， 16 ），求 f(0),f(2) 的值。 解：∵ f(x) 的图象过点（ 2 ， 16 ）， ∴ f(2)=16 即 a 2 =16, 又 a>0 且 a≠1 ∴ a=4 ,f(x)=4 x . ∴ 0 2 f(0)=4 =1,f(2)=4 =8 变式： 已知指数函数 f ? x ? ? a ( a >0, 且 a ? 1 ) 的图象经过点 ? 3 , ? ? , 求 f ? 0 ? , f ? 1 ? , f ? ? 3 ? 的值 . x 解 : f ? 3 ? ? ? 1 : a 3 ? ? ? a ? 3 1 ? ? x ? 3 ? f ? x ? ? ( ? 3 ) x ? ? 3 0 1 f ? 0 ? ? ? 3 ? ? 0 ? 1 f ? 1 ? ? ? 3 ? 3 f ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? 1 ? 1 ? 即 三、图