4-7.3.2.2复数三角表示习题课.docx

课题:复数的三角表示习题课 合肥市第六中学 王其 （一）课时教学内容 复数的三角表示习题课 课程标准要求 掌握复数的三角表示，会进行代数形式和三角表示间的互化，掌握三角表示下的乘除运算并理解其几何意义。 课时教学目标 通过练习，加深对复数三角表示的理解； 熟练复数代数形式和三角表示的互化； 3. 熟练在三角表示下进行复数的运算； 4. 感受数形结合、化归于转化，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养。 教学重点与难点 重点:三角表示，乘除运算的三角表示及几何意义； 难点:三角表示，复数与向量、三角函数和几何之间的联系。 教学过程设计 1.知识回顾 (1)复数的三角形式 一个复数可以用一对有序数对来确定，还可以用另一对实数、来确定，表示成的形式，这就是复数的三角形式. (2)复数的辐角与辐角的主值 以轴非负半轴为始边，所在射线(起点是0)为终边的角，称为复数的辐角，显然非零复数的辐角有无穷多个，它们相差的整数倍. 满足的辐角叫复数的辐角的主值.记作.任一非零复数的辐角主值是唯一的. 复数零的辐角是任意的，上的任意角都是它的主值. (3)复数三角形式的形式特征 ①≥0 ②角前后一致，但不一定为辐角主值，为辐角即可. ③与顺序不能写颠倒. ④与之间用“+”连结. (4)复数三角形式的几何特征(图1) 则: ， . . . 图1 (5)复数三角形式的乘法、除法 设，且. 则: (6)复数三角形式的乘方(棣莫佛定理)（拓展） 设 则 (7)复数三角形式的开方（拓展） 复数的次方根有个值，它们是 其中取. 此个值对应于复平面上的个点，这个点均匀分布在以原点为圆 心，以为半径的圆周上. (8)常见的化复数为三角形式类型. ，，，. 2.例题分析 例1. 复数的辐角主值是 （ ） (A) (B) (C) (D)  解: .， 是的一个辐角，其主值.选（B）评注: 不是的三角形式，可先将其化为三角形式，求出一个辐角，则辐角主值即可求得. 例2. 已知， .求:?(1) ；(2) 的最大值解:先将化为三角形式，然后确定辐角主值和模. ， . 同理：， ， . （1）. （2）， .时， 即时，最大且最大值为. 评注:在化复数为三角形式时，可根据复数三角形式的特点，采用逐步满足的方法来处理，先满足，其次满足实部为的余弦，虚部为的正弦，再考虑连接符号“+”，这样逐步到位.对于辐角主值，先化为三角形式，求出一个辐角，然后在与其终边相同的角中，求出内的一个，即为辐角主值.另外一种确定辐角主值可先解三角方程，然后再由点所在的象限，求出在内的解.例3.设是复数，且，求复数. 分析:利用复数的代数形式与几何意义，可得出多种解法. 解一:设，则. 由 得 由①②解得：. 解二:如图2，由，知复数在复平面内对应的点在从点出 发，与轴正方向夹角为的射线上，射线方程为： 同理:?，表示在射线: 上， 图2 解方程组得：两射线交点， . 事实上，很容易得到两射线垂直，为直角三角形. . ， . 评注:求一个复数可用代数法，设，求出，也可由题意求其模和辐角. 例4. 已知等边三?角形的两个顶点所表示的复数分别为和2，求另一个顶点所表示的复数. ，.所表示的复数为： . (1)把逆时针旋转，且模不变，得：表示的复数为： 图3. ，对应的复数为： ，故点对应的复数为. (2)把顺时针旋转，模不变，得：对应复数为：， 又，. 对应复数为，即点对应复数. 由(1)、(2)可知：另一个顶点所表示的复数为或 评注：本题根据等边三角形的边角特征，恰当地运用了复数乘法的几何意义(旋转变换和伸缩变换)，求出了另一顶点所对应的复数.一般地，如果已知一个几何图形(如正方形，菱形等)的某些点所对应的复数，求另外一些点对应的复数，常利用旋转变换或伸缩变换. 课后作业： P90.习题7.3第4，5，7题 目标检测设计 在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为，，，(其中为原点)，已知对应复数为，求，对应的复数. 解一：设，对应的复数为，.则由题意：将顺时针旋转，模变为原来的倍即得，对应的复数为： 同理： 解二：同解一求出,由绕原点逆时针旋转即得，得对应的复数为 解三：设，，对应的复数为，，，由复数运算的几何意义知： 即 解得： 解四：由题意可知，点，可看成是以为直径的圆与线段的垂直平分线的两个交点，进而有方程组： 解得 或 ， 评注：本