2022年中考数学几何模型提升专题02 阿基米德折弦定理.docx

中考几何模型提升篇02——阿基米德折弦定理 【模型解读】 【问题】:已知M为EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AC)的中点，B为EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AM)上任意一点，且MD⊥BC于D.求证:AB+ BD= DC 如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中点，过点M作MD⊥BC垂足为D，求证：CD=AB+BD.（阿基米德折弦定理） 【变式训练】如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D为弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于E，求△BDC的周长。 己知:如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于E,易证得:AE=BE,从圆上任意 一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。 (1) 如图2，PA、 PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于E, 求证: AE=PE+PB (2)如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,则AE、PE、PB 之间存在怎样的数量关系?写出结论，并证明。 如图，在⊙O中AB=AC，点D是EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),CMB)上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC， ∠BAC=120° （1）若AC=4，求⊙O的半径 （2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。 如图，△ABC内接于⊙O，AC＜BC,点D为EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),ACB)的中点，求证AD2=AC·BC+CD2 原图图1 已知⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，求证PA+PB≤AC+BC  【练习】 古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD． （1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 证明：如图2，在CB上截取CG=AB， 连接MA,MB,MC和MG． ∵M是EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中点， ∴EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),MA)=EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),MC) ∴MA=MC． （2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长． PAGE7/ NUMPAGES20 如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AC)上的动点，且cos∠ABC=EQ \F(\R(,10),10)． （1）求AB的长度； （2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变，请求出AD﹒AE的值；若变化，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH． （4）求DA,DB,DC之间的数量关系  已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径． 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接AD、CD。作AE⊥BD与点E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面积 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=3，cos∠ABC=，D是劣弧AC上一点，且AD=2CD，求BD的长为. 如图， PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）证明：AD=AC （2）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释． 中考几何模型提升篇02——阿基米德折弦定理 【模型解读】 【问题】:已知M为EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AC)的中点，B为EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AM)上任意一点，且MD⊥BC于D.求证:AB+ BD= DC 证法一:(补短法) 如图:延长DB至F，使BF=BA∵M为中点∴=,∴∠1=∠2① 又∵EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),M C) =EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),M C),∴∠1=∠3,∴∠2=∠3②又∵∠3+∠MBF=180°③ 由圆内接四边形对角互补∴∠2+∠MBA=180°④ 由①②③④可得:∠MBA=∠MBF 在△MBF与△MBA中； eq \B\lc\{(\a\al(BF=BA,∠MBA=∠MBF,MB=MB))∴△