离散数学第2版教学课件-有序对与笛卡尔积.pdfVIP

3.2.3 有序对与笛卡儿积 定义3.14 由两个元素x和y按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对 ，也称序偶 ，记作x, y ， 其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例如，平面直角坐标系中点的坐标就是有序对 ，1, 3, 3, 1, 2, 0等代表平面中不 同的点。 由定义可知，有序对具有如下性质 ： （1）当x  y 时,x, y  y, x ，即与顺序有关。 （2）给定两个有序对x, y 和u, v ，x, y = u, v 的充分必要条件是x =u且y =v 。 （3）有序对x, y 与集合{x, y}不同，后者 中的元素是无次序的。如当x  y 时，{x, y} = {y, x} 。 3.2.3 有序对与笛卡儿积 定义3.16 设A ，B为集合 ，用A 中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对 ，所有这样的有序对组成 的集合叫做A和B的笛卡儿积 ，记作A  B。笛卡儿积的符号化表示为 ： A  B = { x, y |x  A ∧y  B} 3.2.3 有序对与笛卡儿积 作为集合的一种二元运算 ，笛卡儿积运算具有如下性质 ： （1）对任意集合A ，有 A = A  =  （2）当A  B ∧A  ∧B 时，有A  B  B  A ，即笛卡儿积运算不适合交换律 。 （3）当A, B, C都不是空集时，有(A  B)  C  A (B  C) ，即笛卡儿积运算不满足结合律 。 （4）笛卡儿积运算对 和 运算满足分配律 。即对任意的集合A, B, C有， A (B ∪C) = (A  B) ∪(A  C) (B ∪C)  A = (B  A) ∪(C  A) A (B ∩C) = (A  B) ∩(A  C) (B ∩C)  A = (B  A) ∩(C  A) 3.2.3 有序对与笛卡儿积 定理3.9 设A, B, C为集合 ，C  ，则 （1）A  B的充分必要条件是A  C  B  C。 （2）A  B的充分必要条件是C  A  C  B。 证 ：仅证 明 （1），可类似地证 明 （2）。 必要条件 ：对于任意的x,y ， x,y  A  C  x  A ∧y  C  x  B ∧y  C  x,y  B x C 所 以A x C  B x C。 充分条件 ：因为C  ，所 以存在y  C，对于任意的x ， x  A  x  A ∧y  C  x,y  A  C  x,y  B  C  x  B ∧y  C  x  B 所 以A  B。 3.2.3 有序对与笛卡儿积 定理3.10 设A, B, C, D为非空集合 ，则A  B  C  D的充分必要条件是A  C且B  D。 证 ：必要条件 ：对于任意的x ，y ， x  A ∧y  B  x,y  A  B  x,y  C  D  x  C ∧y  D 所 以A  C且B  D。 充分条件 ：对于任意的x, y ， x, y  A  B  x  A ∧y  B  x  C ∧y  D  x, y  C  D 所 以A  B  C  D。 小结 分类：并、交、差 （相对补）、补 （绝对补）和对称差 运算的性质：常用的集合恒等式或集合的运算定律 恒等演算法