离散数学第2版教学课件-子群.pdfVIP

8.2 子群与陪集 子群与群的关系：拉格朗日定理。 Lagrange定理及 8.2 子群与陪集 推论 陪集的性质 陪集 典型子群 H是G的非空子集 (1)a,b ∈H有ab ∈H (2) a ∈H有a-1 ∈H. 子群判定定理 H是G的非空子集 -1 a,b∈H,有ab ∈H 子群 H是G的非空有穷子集 非空子集、群 a,b∈H有ab∈H 8.2 子群与陪集 子群定义 定义8.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作HG. 例如 nZ (n是自然数) 是整数加群Z,+ 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子 群. 任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群. 8.2 子群与陪集 定理8.5 （子群判定定理1 ） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当 (1) a,b∈H有ab∈H (2) a∈H有a1 ∈H. 证 必要性是显然的. 为证明充分性，只需证明e∈H. 因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a1 ∈H，根据条件(1) aa1 ∈H，即e∈H. 8.2 子群与陪集 定理8.6 （子群判定定理2 ） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H,有ab1 ∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1 ∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1 ∈H，即a1 ∈H. 任取a,b∈H ，知b1 ∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1 ∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群. 8.2 子群与陪集 定理8.7 （子群判定定理3 ） 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1 ∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 2 若a≠e，令S={a,a ,…}，则SH. i j 由于H是有穷集，必有a = a （ij）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1 ∈H. 根据子群判定定理1，可知H是G的子群。