离散数学第6章 代数系统.ppt

定义6-3.4 若半群S， ? 的运算?满足交换律，则称S， ? 是一个可交换半群。 * 在可交换半群S， ? 中，有(a ? b)n=an ? bn，其中n是正整数，a，b?S。 §6-3-2 含幺半群和子含幺半群 定义6-3.4 含有幺元的半群称为含幺半群或独异点。 * 例6-3.4 代数系统R，·是含幺半群，其中R是实数集，·是普通乘法，这是因为R，·是半群，且1是R关于运算·的幺元,是含幺半群。 代数系统{?1，1}，·和Z，·都是具有幺元1的半群，是含幺半群。 设集合A={1，2，3，…}，则A，+是半群但不含幺元，所以它不是含幺半群。 练习 集合A=?0,2,4?，说明对于模6乘法×6，A, ×6是独异点。 * 解：容易验证×6对于A是封闭的，且满足结合律，A中元素4是A,×6的幺元，因为 4×60=0，4×62=2，4×64=4 所以A,×6是独异点 定理6-3.3 设S是至少有两个元素的有限集，且S，*是一个含幺半群，则在关于运算*的运算表中任何两行或两列都是不相同的。 * 证明： 设S中的关于运算*的幺元是e。 因为对于任意a，b?S且a≠b， 总有e*a=a≠b=e*b，且a*e=a≠b=b*e， 所以在运算表中不可能有两行和两列是相同的。 证明： （1）因x?1是x的逆元，所以x-1 ? x=e=x ? x-1 ，从而由逆元的定义及唯一性得(x?1)?1=x。 （2）(x ? y) ?(y-1 ? x-1) = x ?(y ? y-1) ? x-1 =x ? e ? x-1 =x ? x-1=e 同理可证(y-1 ? x-1) ?(x ? y)=e 所以，由逆元的定义及唯一性得(x ? y)-1=y-1 ? x-1 。 * 定理6-3.4 设S， ? 是含幺半群，对于任意的x，y?S，当x，y均有逆元时，有 （1）(x?1)?1=x； （2）x ? y有逆元，且(x ? y)?1=y?1 ? x?1。 例6-3.5 设Z是整数集合，m是任意正整数，Zm是由模m的同余类组成的集合，Zm={[0]，[1]，[2]，[3]，…，[m?1]}，（注：可以简记Zm={0，1，2，3，…，m?1}），在Zm上分别定义两个二元运算+m和?m如下： 对任意的[i]，[j]?Zm，[i]+m[j]=[(i+j)(modm)] ?[i]×m[j]=[(i×j)(modm)] 试证明m1时，在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不相同。 * 证明：考察非空集合Zm上二元运算+m和?m。 （1）由运算+m和?m的定义可得，运算+m和?m在Zm上都是封闭的且都是可结合的（结合性的证明参考例6-2.12），所以，Zm，+m，Zm，?m都是半群。 * (2)因[0]+m[i]=[i]=[i]+m[0]，所以[0]是Zm，+m中的幺元；因为[1]?m[i]=[i]=[i]?m[1]，所以[1]是Zm，?m中的幺元。 由上可知，代数系统Zm，+m，Zm，?m都是含幺半群。从而由定理6-3.3知，Zm中的两个运算+m，?m的运算表的任何两行或两列都是不相同的。 下面表6-9和表6-10分别给出m=4时，“+4”和“?4”的运算表，在这两个运算表中没有两行或两列是相同的。 * 表6-9 m=4时“+4”运算表 +4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] 表6-10 m=4时“?4”运算表 ?4 [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1] 定义6-3.5 设M， ? 是含幺半群S， ? 的子半群，且S， ? 的幺元e?M，则M， ? 称为S， ? 的子含幺半群。 * 例：Z，×是含幺半群，Z中所有幂等元的集合为M={?1，0，1}，所以M，×是Z，×的子含幺半群。 练习：在独异点N10,×10中，取其子集A=?0,2,4,6,8?，说明A,×10是独异点，但不是N10,×10的子独异点。 * 解：1）由于A是由N10中所有偶数作为元素构成的集合；任意两个偶数的乘积是偶数，偶数被10除后，其余数必为小于10的偶数；由此可知，模10的乘法运算×10对于A是封闭的。 2）×10是可结合运算。 3）在A,×10中，由于 6×100=0×106=0；6×102=2×106=2；6×104=4×106=4； 6×106=6×106=6；6×108=8×106=8