离散数学第5章 函数.ppt

习题5 下列集合能否定义函数？若能，指出它的定义域和值域。 1）{<1，<2，3>，<2，<3，4>>，<3，<1，4>>} 2）{<1，<2，3>，<2，<3，4>>，<1，<2，4>>} 3）{<1，<2，3>，<2，<3，4>>，<3，<2，3>>} 4）{<1，<2，3>，<2，<3，4>>，<3，<1，4>>，<4，<1，4>>} * 解 1）能，domf={1，2，3}，ranf={<2，3>，<3，4>，<1，4>}； 2）不能； 3）能，domf={1，2，3}，ranf ={<2，3>,<3，4>}； 4）能，domf={1，2，3，4}，ranf ={<2,3>,<3,4>,<1,4>}。 习题6 设f：R→R，f（x）=x2-1，g：R→R，g（x）=x+2 1）求fog和gof 2）说明上述函数是单射、满射还是双射的？ * 解 1）fog(x)=f（g(x))=f（x+2）=（x+2）2-1=x2+4x+3 gof(x)=g（f（x））=g（x2-1）=（x2-1）+2=x2+1 2）（a）fog不是单射的 因为fog（-（x+4））=（x+4）2-4（x+4）+3 =x2+4x+3=fog（x） 但是，除x=-2外，一般-（x+4）≠x，故此fog不是单射函数。 （b）fog不是满射的 因为fog（x）= x2+4x+3 =（x+2）2-1 ≥-1 故此ran（fog）=[-1，+∞]≠R。所以fog不是满射的。 （c）综合（a）、（b）、fog也不是双射的。 * （d）gof不是单射的 因为gof（-x）=（-x）2+1 =x2+1 =gof（x） 但是，除x=0外，一般-x≠x，故此gof不是单射的。 （f）gof不是满射的 因为gof（x）=x2+1≥1，故此ran（gof）=[1，+∞] ≠R。所以gof不是满射的。 （g）综合（d），（f），gof当然也不是双射的。 * 习题8 1.设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 　　　　　　　　　　　　　 ． 2.设函数f:B→C ，g:A→B ，若fog A→C是单射，则（ ） A、f是单射 B、g是单射 C、f是满射 D、g是满射 3.设函数 f:B→C ，g:A→B ，若fog A→C是满射，则（ ） A、f是单射 B、g是单射 C、f是满射 D、g是满射 4.设函数 f:B→C ，g:A→B ，若fog A→C是双射，则（ ） A fg都是单射 Bfg都是满射 C f是单射,g是满射 D f是满射, g是单射 * 1.{<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >} 2.B 3.C 4.D 习题9 设A={2,3,4} ，B={2,4,7,10,12} ， 从A到B的关系R={<a,b> |a属于A，b属于B，且a整除b}， 试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此关系R及其逆关系 是否为函数？为什么？ * 解 R={<2,2>, <2,4>, <2,10>, <2,12>, <3,12>, <4,4>, <4,12>} * 关系R不是A到B的函数， 因为元素2，4的象不唯一 逆关系R-1 也不是A到B的函数 因为元素7的象不存在 注意：当g?f 是单射时，g可能不是单射， f={<a1,b1>, <a2,b2>, <a3,b3>} g={<b1,c1>, <b2,c2>, <b3,c3>,<b4,c3>} g?f={<a1,c1>,<a2,c2>, <a3,c3>} * a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 g?f A f B g C c1 c2 c3 c4 证：因为g?f 是满射，所以对任一元素c∈C，必存在元素a∈A，使得g?f(a)=c ， 而 g?f(a)= g(f(a))=c , 令b=f(a)，则g (b)=c, 由c的任意性, 知g是满射。 * (2)证明 如果g?f是满射，则g是满射 当g?f 是满射，f可能不是满射. a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 g?f A f B g C c1 c2 c3 (3)如果g?f是双射，则f是单射而g是满射。 由结论(1)和(2)直接推得。 * 当g?f 是双射时，f可能不是满射，g可能不是单射. a1 a2