北京大学物理学院《群论一》讲义.pdf

《群论一》讲义 李新征 北京大学物理学院 前言 《群论》作为 19 世纪发展起来的一门近世代数的分支，在近代物理学研究 中占据着举足轻重的位置。在我国物理学专业教学中，《群论》一般是物理学院 部分专业研究生的一门必修课，对学有余力的本科生 ，也可选修。北京大学物理 学院近年来一直使用两个学期完成来完成该方面教学 ，秋季学期开设《群论一》， 春季开设 《群论二》。《群论一》的任务是建立基本概念，重点讲解有限群，让学 生理解群论在诸如凝聚态物理、光学等学科具体研究 （如量子力学本征态标识、 能带计算、光谱分析、全同粒子性质描述等）中的应用。《群论二》重点针对理 论物理专业学生讲解李群与李代数。我的研究方向是凝聚态计算 ，在日常的科研 中对群论这门数学工具（或者说是语言）的重要性具备一点了解。机缘巧合，从 2012 年进入北京大学物理学院工作起笔者一直负责 《群论一》的教学。教学过 程中，最深切地体会就是这门课程的入门以及在讲授过程中建立起课程内容与学 生以后从事研究的联系对绝大部分同学是最关键的。只有入门后，深入理解才有 可能 ，而此深入理解需要通过学习与科研工作相关的例子和科研本身来获得。 此讲义基于笔者过去七年的教学积累，早期重点参考田光善老师的手稿、韩 其智与孙洪洲老师的教材、王宏利老师的讲义，后期更多的是 Dresselhaus 的 教材。讲义特征是与课堂讲解基本一致的 口语化的语言。这样做有两个目的：对 于上了课的学生 ，重复这个过程可加深课堂上的理解 ；对于错过几趟课的学生， 也能提供一个补救的手段。除了这两个 目的之外，一个与个人习惯相关的原因是 笔者在博士阶段受到的训练就是在准备报告的时候需要事先琢磨每一句要说的 话 ，避免讲解过程中由于语言组织的随意引起误解。 ii 在上课过程中，宿愿 （人名）等同学就讲义给出过很多宝贵的修改意见，因 为人数太多，无法一一列举。2016 年暑假，首都师范大学数学系的张俊老师花 了很多时间阅读教材的前两章并予以指导。2018 年秋季学期，南方科技大学刘 奇航老师基于其研究经历对第四章内容也提出了诸多宝贵意见。这里一并感谢！ 李新征 2018 年 12 月 30 日 课程导言 任何一门课开始的时候都会有一个课程导言，讲这门课的基本情况。这里不 例外，我们按下面五句展开 ： 1）群论课程性质与特点； 2）教材情况与需要的基础知识 ； 3）教学内容 ； 4）什么是群论 ； 5）群论的历史以及在近代物理学、化学研究中的应用。 这部分是这门课最轻松的地方，因为有历史、不枯燥。但《群论》从本质上 是一门数学，群、环、域这些概念本身就是近世代数里面的基本语言 ，群论本身 更是在十九世纪末彻底发展起来的一个近世代数的分支。二十世纪初，随着 Emmy Noether （诺特，女，1882-1935，德国犹太人）就一个物理系统的对称性 与它的守恒量之间关系的认识（ 1915 年的工作，发表于 1918 年，原始文献[1]）、 量子力学的发展、以及 Eugene Paul Wigner （魏格纳，1902-1995，匈牙利人，后 期加入美国籍）和 Hermann Klaus Hugo Weyl （外尔，1885-1955，德国人）在建 立量子力学数学基础的过程中对对称性原理的使用[2-4] ，人们逐渐认识到群论作 为一门数学在物理学研究中的作用。再后来物理学发展中人们所使用的规范场 （gauge）的方法，是这些研究的进一步延伸 （后面我们会稍微展开讨论）。因此， 不夸张地说，群论学习是我们物理学专业学生在从事具体研究工作前所受基础教 育中必不可少的环节。 这是群论课程特点在数学和物理方面的体现。在我们的兄弟学科化学上 ，在 量子力学建立后，敏锐的理论化学家们，以 Linus Carl Pauling