专题3.7 双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docxVIP

专题3.7 双曲线的标准方程和性质-重难点题型精讲 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 3．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 4．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.(2)双曲线离心率的范围：e>1.(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 5．双曲线中的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响. 【题型1 曲线与方程】 【方法点拨】 根据所给曲线方程表示双曲线，结合双曲线的标椎方程进行求解，即可得出所求. 【例1】（2020?大连二模）如果方程x2m+2 A．（2，+∞） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣∞，﹣1） D．（1，2） 【解题思路】根据双曲线的标准方程，可得只需2+m与1+m只需异号即可，则解不等式（2+m）（1+m）＜0即可求解． 【解答过程】解：由题意知（2+m）（1+m）＜0， 解得﹣2＜m＜﹣1． 故m的范围是（﹣2，﹣1）． 故选：B． 【变式1-1】（2020春?苏州期末）已知m，n∈R，则“m?n＜0”是“方程x2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】先求出方程 x2m+y2n=1表示双曲线时m，n满足的条件，然后根据根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，若p?q为真命题且q 【解答过程】解：∵方程 x2 ∴m?n＜0 则“m?n＜0”是“方程x2 故选：C． 【变式1-2】判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出a、b、c及焦点坐标． （1）x2 （2）y22 【解题思路】利用双曲线的简单性质写出结果即可． 【解答过程】解：（1）x24-y22=1是双曲线方程，a＝2，b=2 （2）y22-x22=1是双曲线方程，a=2，b= 【变式1-3】已知x21-k- （1）方程表示双曲线； （2）表示焦点在x轴上的双曲线； （3）表示焦点在y轴上的双曲线． 【解题思路】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论． 【解答过程】解：（1）方程表示双曲线，则（k﹣1）（|k|﹣3）＜0，可得k＜﹣3或1＜k＜3； （2）焦点在x轴上的双曲线，则k-1＞03-|k| （3）焦点在y轴上的双曲线，则|k|-3＞ 【题型2 利用双曲线的定义解题】 【方法点拨】 理解双曲线的定义要紧扣“到两定点的距离的差的绝对值为定值，且该定值小于两定点间的距离”.双曲线 的定义的应用主要有以下几种类型：一是求解动点的轨迹方程问题；二是求解最值问题；三是求解焦点三 角形问题. 【例2】（2020秋?昌吉市期末）已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线C上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是8，则曲线C的方程为（　　） A．x29-y2 C．x225-y 【解题思路】由双曲线的定义判断出动点的轨迹，然后利用双曲线中三各参数的关系求出b，即可写出双曲线的方程． 【解答过程】解：据双曲线的定义知：P的轨迹是以F1（5，0）， F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为8的双曲线． 所以c＝5，a＝4，b2＝c2﹣a2＝9， 所以双曲线的方程为：x 故选：B． 【变式2-1】已知A（0，﹣4），B（0，4），|PA|﹣|PB|＝2a，当a＝3和4时，点P轨迹分别为（　　） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线 【解题思路】由题意可得|AB|＝8，当a＝3时，|PA|﹣|PB|＝6＜8，由双曲线定义即可判断；当a＝4时，|PA|﹣|PB|＝8＝|AB|，从而可判断出点P的轨迹． 【解答过程】解：∵A（0，﹣4），B（0，4），| ∴|AB|＝8， 又|PA|﹣|PB|＝2a， ∴当a＝3时，|PA|﹣|PB|＝6＜8，由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支； 当a＝