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第十四章 达朗伯原理 达朗伯原理提供了用静力学的平衡方程求解动力学问题的方法, 所以也称‘ 动静法’ . 达朗伯原理的运用首先是将有关的运动量转化成达朗伯惯性力系, 这其间达朗伯惯性力系的简化和等效代替是重要的一步. 其后便是运用静力学平衡方程式的求解技巧. 用达朗伯原理求解约束反力和加速度问题是很有效的. 质点M M 质量 m, 主动力F 约束反力N F N 加速度为a R a 所以 R = F + N = ma F + N + ( - ma) = 0 因为惯性力 Q = - m a 所以 F + N + Q = 0 Q是一个虚力 用虚线表示 象力的平衡方程 不是力的平衡方程 Q不作用在质点上 §14 – 1 惯性力 . 质点的达朗伯原理 质点的达朗伯原理叙述为∶ 在质点运动的任一瞬时，作用于质点上 的主动力、约束反力和虚拟的惯性力组成 平衡力系。 F + N + Q = 0 当非自由质点运动时, 作用在质点上的主动力、约束反力和 达朗伯惯性力在形式上组成一平衡力系. －这就是质点的达朗伯原理. 例一. 重P 的物块A ( 不计尺寸) 沿与铅垂面夹角为θ 的悬臂梁下滑. 梁重为 G, 均质, 长OB = L . 不计摩擦. 求: 当物块A 滑至距固定端为S 米时, 固定端的约束反力. A P θ S B O L/2 G a 解: 先求惯性力 XO YO mO Fg 由达朗伯原理 例二. ( 见书) 飞轮的质量为m , 半径为R , 以匀角速度ω 绕O 轴转动. 设轮缘较薄, 质量 均匀分布, 轮辐的质量不计. 不考虑重力的影响, 求轮缘横截面的张力. O ω O R ω x dFg T1 T2 θ 解：取半圆环为研究对象 运动的质点系的每一瞬时, 系统中的所有质点的达朗伯惯性力与作用于系统的外力在形式上组成平衡力系. －这就是质点系的达朗伯原理. 这个‘ 平衡力系’ 显然是一个空间的平衡力系. 根据空间力系的平衡理论 , 就是: 系统中的所有质点的达朗伯惯性力和外力系的矢量和为零( 主矢为零), 以及这些力对任意点的矩的矢量和为零( 主矩为零). 用数学式表示, 即是: 它有六个空间投影方程用于具体问题的计算. 如果的平面问题便是三个. §14 – 2 质点系的达朗伯原理 质点系∶ 有n个质点，对第 i 个质点有 在质点系运动的任一瞬时，作用于每一 质点上的主动力、约束反力以及虚拟惯性 力在形式上构成平衡力系。 对整个质点系，作用其上的力系有∶ 主动力系 约束反力力系 虚拟的惯性力系 它们在形式上构成平衡力系，且 达朗伯原理评价 一、引入虚拟惯性力的意义 1、提供了用静力学方法写动力力学 方程的手段。 2、引出了新的观点。 3、达朗伯原理的方法被叫做动静法。 二、应用方面 1、写动力学方程。 2、已知运动，求解动约束反力。 3、计算构件的动荷强度。 质点系的每一个质点的达朗伯惯性力构成一达朗伯惯性力系. 一般情况下是一个较复杂的空间力系. 运用达朗伯原理求解质点系或刚体动力学问题的关键是将此惯性力系进行简化和等效代替. 下面, 我们将对常见的几种运动的刚体上的达氏惯性力进行简化. §14 –3 刚体惯性力系的简化 1. 刚体的平动 C 刚体作平动, 其上所有点的加速度矢都相等. 因而惯性力系是一同向平行力系. 这个力系与重力系类似, 其合力过质心C . 平动刚体上的达朗伯惯性力系向质心简化可得一力. 此力的大小等于刚体的质量乘以质心或任意一点的加速度, 方向与加速度相反. 2. 刚体的定轴转动( 刚体有质量对称面, 且转轴垂直于质量对称面): 对于转轴垂直于质量对称面的定轴转动的刚体, 首先其上的达朗伯惯性力系可以简化成质量对称面上的平面力系. 进而向转轴的O 点简化 , 可得一力和一力偶. O α ω C O C 由力系的简化理论可知: 此力的作用线过O点, 量值为惯性力系的矢量和( 主矢); 此力偶作用在刚体上, 量值为惯性力系诸力对O点的力矩的代数和( 对O点的主矩). 有质量对称面且转轴垂直此面的定轴转动的刚体, 其上达朗伯惯性力系向对称面与定轴的交点O简化可得一力和一力偶. 其力: 其力偶: 现在讨论以下三种特殊情况： 2. 当刚体作匀速转动时, a＝0, 若转轴不过质心, 惯性力系简化为一惯性力FI , 且FI ＝－maC, 同时力的作用线通过转轴O。 1. 当转轴通过质心C时, aC＝0, FI＝0, MIC＝－JCa。此时惯性力系简化为一惯性力偶。 3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时, FI＝0, MIC＝0, 惯性力系自成平